G8_Set_BLE Questions

Question 1

• Given a Venn diagram.
1. What types of sets are \(A\) and \(B\), overlapping or disjoint sets?[1]
2. Write the improper subset of \(B\).[1]
3. If \(m\) and \(n\) are only the members of set \(A\), then what type of sets are \(A\) and \(B\)? Write with reason.[1]
1. Sets \(A\) and \(B\) are overlapping sets.
   Because they share common elements \(p\) and \(q\).
2. The improper subset of set \(B\) is the set \(B\) itself.
   \( B = \{p, q, x, y\} \)
3. If \(m\) and \(n\) are the only members of set \(A\), then \(A = \{m, n\}\) and \(B = \{x, y, p, q\}\).
   In this case, \(A\) and \(B\) would be disjoint sets because they have no common elements
   i.e., \(A \cap B = \emptyset\).
• भेन चित्र दिइएको छ ।
1. समूह \(A\) र \(B\) कस्ता प्रकारका समूहहरू हुन्, खप्टिएका समूह वा अलगिएका का समूह?[1]
2. समूह \(B\) को अनुचित उपसमूह लेख्नुहोस् ।[1]
3. यदि \(m\) र \(n\) मात्र समूह \(A\) का सदस्यहरू हुन् भने, समूह \(A\) र \(B\) कस्ता प्रकारका समूहहरू हुन्छन्? कारणसहित लेख्नुहोस् ।[1]
1. समूह \(A\) र \(B\) खप्टिएका समूह हुन् ।
   किनभने तिनीहरूमा साझा सदस्य \(p\) र \(q\) छन् ।
2. समूह \(B\) को अनुचित उपसमूह स्वयम् समूह \(B\) नै हो ।
   \( B = \{p, q, x, y\} \)
3. यदि \(m\) र \(n\) मात्र समूह \(A\) का सदस्यहरू हुन् भने, \(A = \{m, n\}\) र \(B = \{x, y, p, q\}\) हुन्छ ।
   यस अवस्थामा, \(A\) र \(B\) अलगिएका का समूह हुन्छन् किनभने तिनीहरूमा कुनै पनि साझा सदस्य छैनन्
   अर्थात्, \(A \cap B = \emptyset\) ।

Question 2

• Given a Venn diagram.
1. Define subset.[1]
2. Write all the subsets of \(A\) having a single element.[1]
3. Which elements of set \(B\) are to be removed to make the sets \(A\) and \(B\) disjoint sets? Write it.[1]
1. Let A and B are two sets, the A is subset of B if every element of A is also an element of B, it is denoted as \(A \subseteq B\).
2. From the Venn diagram, \(A = \{3, 4, 5\}\).
   The subsets of \(A\) having a single element are
   \(\{3\}, \{4\}, \{5\}\)
3. Sets \(A\) and \(B\) overlap because they share the elements \(4\) and \(5\).
   To make them disjoint, remove the common elements \(4\) and \(5\) from set \(B\)
• भेन चित्र दिइएको छ ।
1. उपसमूह को परिभाषा लेख्नुहोस् ।[1]
2. समूह \(A\) का एउटा मात्र सदस्य भएका सबै उपसमूह लेख्नुहोस् ।[1]
3. समूह \(A\) र \(B\) लाई अलगिएका का समूह बनाउन समूह \(B\) बाट कुन कुन सदस्यहरू हटाउनुपर्छ? लेख्नुहोस् ।[1]
1. मानाौँ A र B दुईवटा समूहहरू हुन्; यदि समूह A का प्रत्येक सदस्य समूह B मा पनि पर्दछन् भने, A लाई B को उपसमूह भनिन्छ। यसलाई \(A \subseteq B\) ले जनाइन्छ।
2. भेनचित्र अनुसार, \(A = \{3, 4, 5\}\) छ।
   एउटा मात्र सदस्य भएका समूह A का उपसमूहहरू निम्न हुन्:
   \(\{3\}, \{4\}, \{5\}\)
3. समूह A र B खप्टिएका छन् किनभने यिनीहरूमा साझा सदस्यहरू \(4\) र \(5\) छन्।
   यिनीहरूलाई अलगिएको समूह (disjoint sets) बनाउन समूह B बाट साझा सदस्यहरू \(4\) र \(5\) लाई हटाउनुपर्छ।

Question 3

• Two subsets of the universal set \(U = \{a, e, i, o, u\}\) are \(A = \{e, o, u\}\) and \(B = \{a, c, i\}\).
1. What types of sets are \(A\) and \(B\)—overlapping or disjoint? Write it.[1]
2. Write one proper and one improper subset of \(A\).[1]
3. If \(e\) is eliminated from sets \(A\), then what types of sets are \(A\) and \(B\)? Write with a reason.[1]
1. Sets \(A\) and \(B\) are disjoint sets.
   Because \(A = \{e, o, u\}\) and \(B = \{a, c, i\}\) have no common elements.
2. One proper subset of \(A\): \(\{e, o\}\) and one improper subset of \(A\): \(\{e, o, u\}\) (which is \(A\) itself)
3. Eliminating \(e\) from set \(A\) gives \(A = \{o, u\}\).
   Since \(A = \{o, u\}\) and \(B = \{a, c, i\}\) share no common elements, they remain disjoint sets (\(A \cap B = \emptyset\)).
• सर्वव्यापक समुह \(U = \{a, e, i, o, u\}\) का दुई उपसमूह हरू \(A = \{e, o, u\}\) र \(B = \{a, c, i\}\) हुन् ।
1. समूह \(A\) र \(B\) कस्ता प्रकारका समूहहरू हुन्—खप्टिएका समूह वा अलगिएका का समूह? लेख्नुहोस् ।[1]
2. समूह \(A\) को एउटा उचित उपसमूह र एउटा अनुचित उपसमूह लेख्नुहोस् ।[1]
3. यदि समूह \(A\) बाट \(e\) लाई हटाइयो भने, \(A\) र \(B\) कस्ता प्रकारका समूहहरू हुन्छन्? कारणसहित लेख्नुहोस् ।[1]
1. समूह \(A\) र \(B\) अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) हुन्।
   कारण: किनभने \(A = \{e, o, u\}\) र \(B = \{a, c, i\}\) बीच कुनै पनि साझा सदस्यहरू छैनन् (\(A \cap B = \emptyset\))। [Image of two disjoint circles in a Venn diagram]
2. समूह \(A\) को एउटा उपयुक्त उपसमूह (proper subset): \(\{e, o\}\) र एउटा अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset): \(\{e, o, u\}\) (जुन समूह \(A\) आफैँ हो)।
3. समूह \(A\) बाट \(e\) लाई हटाउँदा \(A = \{o, u\}\) हुन्छ।
   यहाँ \(A = \{o, u\}\) र \(B = \{a, c, i\}\) बीच कुनै पनि साझा सदस्य नभएकोले, यी समूहहरू अझै पनि अलगिएका समूहहरू नै रहन्छन् (\(A \cap B = \emptyset\))।

Question 4

• Two sets are given: \(A = \{1, 2, 3\}\) and \(B = \{2, 3, 4\}\).
1. Are sets \(A\) and \(B\) disjoint sets? Give a reason.[1]
2. Write the improper subsets of set \(A\).[1]
3. Write the proper subsets formed from set \(B\).[1]
1. No, sets \(A\) and \(B\) are not disjoint sets.
   Because they have common elements \(2\) and \(3\), i.e., \(A \cap B = \{2, 3\} \neq \emptyset\).
2. The improper subsets of set \(A\) is
   \(\{1, 2, 3\}\) (the set itself)
   
3. The proper subsets of set \(B = \{2, 3, 4\}\) are all subsets except \(B\) itself. They are
   \(\{2\}, \{3\}, \{4\}, \{2, 3\}, \{2, 4\}, \{3, 4\}, \emptyset\)

   Number of Elements	Subsets	Count
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{2\}, \{3\}, \{4\}\)	3
   2	\(\{2, 3\}, \{2, 4\}, \{3, 4\}\)	3
   Total Proper Subsets		7

• दुई ओटा समूहहरू दिइएका छन्: \(A = \{1, 2, 3\}\) र \(B = \{2, 3, 4\}\) ।
1. के समूह \(A\) र \(B\) अलगिएका का समूह हुन्? कारण दिनुहोस् ।[1]
2. समूह \(A\) को अनुचित उपसमूह लेख्नुहोस् ।[1]
3. समूह \(B\) बाट बन्ने उचित उपसमूह हरू लेख्नुहोस् ।[1]
1. होइन, समूह \(A\) र \(B\) अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) होइनन्।
   किनभने यिनीहरूमा साझा सदस्यहरू \(2\) र \(3\) छन्, अर्थात् \(A \cap B = \{2, 3\} \neq \emptyset\)।
2. समूह \(A\) को अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) निम्न हो:
   \(\{1, 2, 3\}\) (समूह आफैँ)
   
3. समूह \(B = \{2, 3, 4\}\) का उपयुक्त उपसमूहहरू (proper subsets) समूह \(B\) बाहेकका अन्य सबै उपसमूहहरू हुन्। ती यस प्रकार छन्:
   \(\{2\}, \{3\}, \{4\}, \{2, 3\}, \{2, 4\}, \{3, 4\}, \emptyset\)
   

   सदस्यहरूको सङ्ख्या	उपसमूहहरू	सङ्ख्या
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{2\}, \{3\}, \{4\}\)	3
   2	\(\{2, 3\}, \{2, 4\}, \{3, 4\}\)	3
   कुल उपयुक्त उपसमूहहरू		7

Question 5

• Universal set \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), set \(A = \{1, 3, 5\}\), and set \(B = \{3, 5, 6\}\) are given.
1. Are the sets \(A\) and \(B\) overlapping or disjoint? Write it.[1]
2. Write any two proper subsets from the set \(A\).[1]
3. Show the sets \(A\) and \(B\) in a Venn diagram.[1]
1. Sets \(A\) and \(B\) are overlapping sets.
   Because they share common elements \(3\) and \(5\), i.e., \(A \cap B = \{3, 5\} \neq \emptyset\).
2. Two proper subsets of set \(A = \{1, 3, 5\}\) are
   \(\{1, 3\}\) and \(\{5\}\)
   

   Number of Elements	Proper Subsets	Count
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{1\}, \{3\}, \{5\}\)	3
   2	\(\{1, 3\}, \{1, 5\}, \{3, 5\}\)	3
   Total Proper Subsets		7

3. The Venn diagram for sets \(A\) and \(B\) within the universal set \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) is described as follows The Venn diagram representing the given sets is shown below:
• सर्वव्यापक समुह (U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}), समूह (A = {1, 3, 5}), र समूह (B = {3, 5, 6}) दिइएका छन् ।
1. समूहहरू (A) र (B) खप्टिएका समूह हुन् कि अलगिएका का समूह हुन्? लेख्नुहोस् ।[1]
2. समूह (A) बाट कुनै दुई ओटा उचित उपसमूह लेख्नुहोस् ।[1]
3. समूहहरू (A) र (B) लाई एउटा भेन चित्र मा देखाउनुहोस् ।[1]
1. समूह \(A\) र \(B\) खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
   किनभने यिनीहरूमा साझा सदस्यहरू \(3\) र \(5\) छन्, अर्थात् \(A \cap B = \{3, 5\} \neq \emptyset\)।
2. समूह \(A = \{1, 3, 5\}\) का दुईवटा उपयुक्त उपसमूहहरू (proper subsets) निम्न हुन्:
   \(\{1, 3\}\) र \(\{5\}\)
   

   सदस्यहरूको सङ्ख्या	उपयुक्त उपसमूहहरू	सङ्ख्या
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{1\}, \{3\}, \{5\}\)	3
   2	\(\{1, 3\}, \{1, 5\}, \{3, 5\}\)	3
   कुल उपयुक्त उपसमूहहरू		7

3. सर्वव्यापक समूह \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) अन्तर्गत समूह \(A\) र \(B\) को भेनचित्रलाई तल व्याख्या गरिएको छ। दिइएका समूहहरूलाई प्रतिनिधित्व गर्ने भेनचित्र तल देखाइएको छ:

Question 6

• Study the given Venn diagram.
1. Write the type of sets \(A\) and \(B\)—overlapping or disjoint.[1]
2. Construct all the possible subsets using the members of set \(A\).[2]
1. Sets \(A\) and \(B\) are overlapping sets.
   Because they share the common element \(5\), i.e., \(A \cap B = \{5\} \neq \emptyset\).
2. From the Venn diagram, set \(A = \{1, 4, 5\}\).
   All possible subsets of \(A\) are listed below .

   Number of Elements	Subsets	Count
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{1\}, \{4\}, \{5\}\)	3
   2	\(\{1, 4\}, \{1, 5\}, \{4, 5\}\)	3
   3	\(\{1, 4, 5\}\)	1
   Total Subsets		8

   (Since \(A\) has \(n = 3\) elements, total subsets = \(2^3 = 8\).)

• दिइएको भेन चित्र को अध्ययन गर्नुहोस् ।
1. समूह \(A\) र \(B\) को प्रकार लेख्नुहोस्—खप्टिएका समूह वा अलगिएका का समूह ।[1]
2. समूह \(A\) का सदस्यहरू प्रयोग गरेर सबै सम्भावित उपसमूह तयार पार्नुहोस् ।[2]
1. समूह \(A\) र \(B\) खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
   किनभने यिनीहरूमा साझा सदस्य \(5\) छ, अर्थात् \(A \cap B = \{5\} \neq \emptyset\)।
2. भेनचित्र अनुसार, समूह \(A = \{1, 4, 5\}\) छ।
   समूह \(A\) का सम्भावित सबै उपसमूहहरू तल सूचीकृत गरिएको छ:

   सदस्यहरूको सङ्ख्या	उपसमूहहरू	सङ्ख्या
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{1\}, \{4\}, \{5\}\)	3
   2	\(\{1, 4\}, \{1, 5\}, \{4, 5\}\)	3
   3	\(\{1, 4, 5\}\)	1
   कुल उपसमूहहरू		8

   (यहाँ समूह \(A\) मा \(n = 3\) वटा सदस्यहरू भएकोले, कुल उपसमूह सङ्ख्या = \(2^3 = 8\) हुन्छ।)

Question 7

• The elements of sets \(A\) and \(B\) are shown in the adjoining Venn diagram.
1. State whether the sets \(A\) and \(B\) are overlapping or disjoint. Give a reason.[1]
2. Write two proper subsets of set \(A\).[1]
3. What needs to be done to make the given sets disjoint?[1]
1. Sets \(A\) and \(B\) are overlapping sets.
   Because they share the common element \(3\), i.e., \(A \cap B = \{3\} \neq \emptyset\).
2. From the Venn diagram, \(A = \{2, 3\}\).
   Two proper subsets of \(A\) are: \(\{2\}\) and \(\{3\}\).

   Number of Elements	Proper Subsets	Count
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{2\}, \{3\}\)	2
   Total Proper Subsets		3

3. To make sets \(A\) and \(B\) disjoint, the common element \(3\) must be removed from either set \(A\) or set \(B\) (or both).
   For example
   Remove \(3\) from \(A\): Then \(A = \{2\}\), \(B = \{3, 4\}\) ‚Üí disjoint
   Remove \(3\) from \(B\): Then \(A = \{2, 3\}\), \(B = \{4\}\) ‚Üí disjoint
• समूहहरू \(A\) र \(B\) का सदस्यहरूलाई साथैको भेन चित्र मा देखाइएको छ ।
1. समूह \(A\) र \(B\) खप्टिएका समूह हुन् कि अलगिएका का समूह हुन्, उल्लेख गर्नुहोस् । कारण पनि दिनुहोस् ।[1]
2. समूह \(A\) का दुई ओटा उचित उपसमूह लेख्नुहोस् ।[1]
3. दिइएका समूहहरूलाई अलगिएका का समूह बनाउन के गर्नुपर्ला?[1]
1. समूह \(A\) र \(B\) खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
   किनभने यिनीहरूमा साझा सदस्य \(3\) छ, अर्थात् \(A \cap B = \{3\} \neq \emptyset\)।
2. भेनचित्र अनुसार, समूह \(A = \{2, 3\}\) छ।
   समूह \(A\) का दुईवटा उपयुक्त उपसमूहहरू (proper subsets) निम्न हुन्: \(\{2\}\) र \(\{3\}\)।

   सदस्यहरूको सङ्ख्या	उपयुक्त उपसमूहहरू	सङ्ख्या
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{2\}, \{3\}\)	2
   कुल उपयुक्त उपसमूहहरू		3

3. समूह \(A\) र \(B\) लाई अलगिएका समूह (disjoint sets) बनाउनका लागि, साझा सदस्य \(3\) लाई समूह \(A\) वा समूह \(B\) (अथवा दुवै) बाट हटाउनुपर्छ।
   उदाहरणका लागि:
   यदि समूह \(A\) बाट \(3\) हटाएमा: \(A = \{2\}\) र \(B = \{3, 4\}\) हुन्छ → अलगिएका समूह
   यदि समूह \(B\) बाट \(3\) हटाएमा: \(A = \{2, 3\}\) र \(B = \{4\}\) हुन्छ → अलगिएका समूह

Question 8

• Study the given Venn diagram and answer the following questions.
1. List the elements of sets \(A\) and \(B\) in listing method.[1]
2. Write the improper subset of set \(B\).[1]
3. If set \(A\) contains only the element ‘\(r\)’, then what type of set relation exists between \(A\) and \(B\)? Give a reason.[1]
1. From the Venn diagram:
   \( A = \{p, q, r\} \)
   \( B = \{r, s, t\} \)
2. The improper subset of set \(B\) is the set \(B\) itself:
   \( \{r, s, t\} \)
3. If set \(A\) contains only the element \(r\), then \(A = \{r\}\) and \(B = \{r, s, t\}\).
   In this case, \(A\) is a proper subset of \(B\) because every element of \(A\) is in \(B\)
• दिइएको भेन चित्र को अध्ययन गर्नुहोस् र तलका प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् ।
1. सूचीकरण विधिबाट समूह \(A\) र \(B\) का सदस्यहरूको सूची बनाउनुहोस् ।[1]
2. समूह \(B\) को अनुचित उपसमूह लेख्नुहोस् ।[1]
3. यदि समूह \(A\) मा सदस्य '\(r\)' मात्र छ भने, \(A\) र \(B\) बीच कस्तो प्रकारको समूह सम्बन्ध रहन्छ? कारण दिनुहोस् ।[1]
1. भेनचित्र अनुसार:
   \( A = \{p, q, r\} \)
   \( B = \{r, s, t\} \)
2. समूह \(B\) को अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) समूह \(B\) आफैँ हो:
   \( \{r, s, t\} \)
3. यदि समूह \(A\) मा सदस्य \(r\) मात्र छ भने, \(A = \{r\}\) र \(B = \{r, s, t\}\) हुन्छ।
   यस अवस्थामा, \(A\) समूह \(B\) को एउटा उपयुक्त उपसमूह (proper subset) हुन्छ किनभने समूह \(A\) का प्रत्येक सदस्य समूह \(B\) मा पर्दछन्।

Question 9

• Given Venn diagram:
1. Define overlapping set.[1]
2. Make a proper subset of set \(M\).[1]
3. If the element \(b\) is removed from the above Venn diagram, which type of set relation will exist between \(L\) and \(M\)? Write with reason.[1]
1. Let A and B are two sets, then they are overlapping sets if they have at least one common element. In other words, if \(A \cap N \neq \emptyset\), then \(A\) and \(B\) are overlapping sets.
   
2. From the Venn diagram, \(M = \{b, c, d\}\).
   One proper subset of \(M\) is: \(\{c, d\}\)

   Number of Elements	Proper Subsets	Count
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{b\}, \{c\}, \{d\}\)	3
   2	\(\{b, c\}, \{b, d\}, \{c, d\}\)	3
   Total Proper Subsets		7

3. If element \(b\) is removed, then
   \(L = \{a, e\}\)
   \(M = \{c, d\}\)
   Since they have no common elements, \(L \cap M = \emptyset\), \(L\) and \(M\) become disjoint sets.
• दिइएको भेन चित्र:
1. खप्टिएका समूह (overlapping set) को परिभाषा लेख्नुहोस् ।[1]
2. समूह \(M\) को एउटा उचित उपसमूह तयार पार्नुहोस् ।[1]
3. यदि माथिको भेन चित्रबाट सदस्य \(b\) लाई हटाइयो भने, \(L\) र \(M\) बीच कस्तो प्रकारको समूह सम्बन्ध रहन्छ? कारणसहित लेख्नुहोस् ।[1]
1. मानाौँ A र B दुईवटा समूहहरू हुन्; यदि यिनीहरू बीच कम्तिमा एउटा सदस्य साझा छ भने, यिनीहरूलाई खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) भनिन्छ। अर्को शब्दमा, यदि \(A \cap B \neq \emptyset\) हुन्छ भने, \(A\) र \(B\) खप्टिएका समूहहरू हुन्।
2. भेनचित्र अनुसार, समूह \(M = \{b, c, d\}\) छ।
   समूह \(M\) को एउटा उपयुक्त उपसमूह (proper subset): \(\{c, d\}\) हो।

   सदस्यहरूको सङ्ख्या	उपयुक्त उपसमूहहरू	सङ्ख्या
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{b\}, \{c\}, \{d\}\)	3
   2	\(\{b, c\}, \{b, d\}, \{c, d\}\)	3
   कुल उपयुक्त उपसमूहहरू		7

3. यदि सदस्य \(b\) लाई हटाइयो भने:
   \(L = \{a, e\}\)
   \(M = \{c, d\}\)
   यिनीहरू बीच कुनै पनि साझा सदस्य नभएकोले (\(L \cap M = \emptyset\)), \(L\) र \(M\) अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) बन्दछन्।

Question 10

• Two sets \(P\) and \(Q\) are shown in the adjoining Venn diagram.
1. Define subset.[1]
2. Write an improper subset of set \(P\).[1]
3. If two elements \(a\) and \(e\) are removed from set \(P\), then what type of sets are \(P\) and \(Q\)? Write with reason.[1]
1. Let A and B are two sets, then \(A\) is a subset of \(B\) if every element of \(A\) is also an element of \(B\). This is denoted as \(A \subseteq B\).
2. From the Venn diagram, \(P = \{b, c, d, a, e\}\).
   Now, the improper subset of \(P\) is the set \(P=\{a, b, c, d, e\}\) itself.
3. If elements \(a\) and \(e\) are removed from set \(P\), then
   New \(P = \{b, c, d\}\)
   New \(Q = \{a, e, i, o, u\}\) (unchanged)
   Now, \(P \cap Q = \emptyset\) because they share no common elements.
• साथैको भेन चित्र मा दुई ओटा समूहहरू \(P\) र \(Q\) लाई देखाइएको छ ।
1. उपसमूह को परिभाषा लेख्नुहोस् ।[1]
2. समूह \(P\) को एउटा अनुचित उपसमूह लेख्नुहोस् ।[1]
3. यदि समूह \(P\) बाट दुई ओटा सदस्यहरू \(a\) र \(e\) हटाइयो भने, \(P\) र \(Q\) कस्ता प्रकारका समूहहरू हुन्छन्? कारणसहित लेख्नुहोस् ।[1]
1. मानाौँ A र B दुईवटा समूहहरू हुन्; यदि समूह A का प्रत्येक सदस्य समूह B मा पनि पर्दछन् भने, A लाई B को उपसमूह भनिन्छ। यसलाई \(A \subseteq B\) ले जनाइन्छ।
2. भेनचित्र अनुसार, समूह \(P = \{b, c, d, a, e\}\) छ।
   अब, समूह \(P\) को अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) समूह \(P = \{a, b, c, d, e\}\) आफैँ हो।
3. यदि समूह \(P\) बाट सदस्यहरू \(a\) र \(e\) लाई हटाइयो भने:
   नयाँ \(P = \{b, c, d\}\)
   नयाँ \(Q = \{a, e, i, o, u\}\) (अपरिवर्तित)
   अब, यिनीहरू बीच कुनै पनि साझा सदस्य नभएकोले \(P \cap Q = \emptyset\) हुन्छ र यी समूहहरू अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) बन्दछन्।

Question 11

• Let set \( M = \{1, 2, 3\} \) be given.
1. Write all possible subsets that can be formed from set \(M\).[2]
2. Distinguish the proper and improper subsets from these subsets.[1]
1. Given that \(M = \{1, 2, 3\}\), so M has \(2^3 = 8\) total subsets. They are listed below .

   Number of Elements	Subsets	Count
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{1\}, \{2\}, \{3\}\)	3
   2	\(\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}\)	3
   3	\(\{1, 2, 3\}\)	1
   Total Subsets		8

2. From the subsets given above
   Proper subsets are all subsets except \(M\) itself.
   \(\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}\)   (7 subsets)
   Improper subsetis the set \(M\) itself
   \(\{1, 2, 3\}\)   (1 subset)
• मानौँ समूह \( M = \{1, 2, 3\} \) दिइएको छ ।
1. समूह \(M\) बाट बन्न सक्ने सबै सम्भावित उपसमूह हरू लेख्नुहोस् ।[2]
2. यी उपसमूहहरूबाट उचित र अनुचित उपसमूहहरू छुट्याउनुहोस् ।[1]
1. यहाँ \(M = \{1, 2, 3\}\) दिइएको छ, त्यसैले समूह M का जम्मा \(2^3 = 8\) वटा उपसमूहहरू हुन्छन्। ती उपसमूहहरू तलको तालिकामा दिइएको छ:

   सदस्यहरूको सङ्ख्या	उपसमूहहरू	सङ्ख्या
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{1\}, \{2\}, \{3\}\)	3
   2	\(\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}\)	3
   3	\(\{1, 2, 3\}\)	1
   कुल उपसमूहहरू		8

2. माथि दिइएका उपसमूहहरूबाट:
   उपयुक्त उपसमूहहरू (Proper subsets) भन्नाले समूह \(M\) बाहेकका अन्य सबै उपसमूहहरूलाई बुझिन्छ।
   \(\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}\)   (७ वटा उपसमूहहरू)
   अनुपयुक्त उपसमूह (Improper subset) भन्नाले समूह \(M\) आफैँलाई बुझिन्छ।
   \(\{1, 2, 3\}\)   (१ वटा उपसमूह)

Question 12

• Sets \(P\) and \(Q\) are shown in a Venn diagram.
1. Define subset.[1]
2. Write the improper subset of set \(Q\).[1]
3. If \(1, 3, 5\) are the only members of set \(P\), then what types of sets are \(P\) and \(Q\)? Write with reasons.[1]
1. A set \(A\) is a subset of another set \(B\) if every element of \(A\) is also an element of \(B\). This is denoted as \(A \subseteq B\).
2. From the Venn diagram, set \(Q = \{2, 4, 6, 8\}\).
   Thus,tThe improper subset of \(Q\) is the set \(Q\) itself
   \(\{2, 4, 6, 8\}\)
3. If \(P = \{1, 3, 5\}\) then
   there are no common elements between \(P\) and \(Q\).
   Thus, \(P \cap Q = \emptyset\).
   Therefore, \(P\) and \(Q\) are disjoint sets.
• समूहहरू \(P\) र \(Q\) लाई भेन चित्र मा देखाइएको छ ।
1. उपसमूह को परिभाषा लेख्नुहोस् ।[1]
2. समूह \(Q\) को अनुचित उपसमूह लेख्नुहोस् ।[1]
3. यदि \(1, 3, 5\) मात्र समूह \(P\) का सदस्यहरू हुन् भने, \(P\) र \(Q\) कस्ता प्रकारका समूहहरू हुन्छन्? कारणसहित लेख्नुहोस् ।[1]
1. यदि समूह \(A\) का प्रत्येक सदस्यहरू समूह \(B\) मा पनि पर्दछन् भने, समूह \(A\) लाई समूह \(B\) को उपसमूह (subset) भनिन्छ। यसलाई संकेतमा \(A \subseteq B\) लेखिन्छ।
2. भेनचित्र अनुसार, समूह \(Q = \{2, 4, 6, 8\}\) छ।
   त्यसैले, समूह \(Q\) को अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) समूह \(Q\) आफैँ हो:
   \(\{2, 4, 6, 8\}\)
3. यदि \(P = \{1, 3, 5\}\) भएमा:
   समूह \(P\) र \(Q\) बीच कुनै पनि साझा सदस्यहरू हुँदैनन्।
   त्यसैले, \(P \cap Q = \emptyset\) हुन्छ।
   तसर्थ, \(P\) र \(Q\) अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) हुन्।

Question 13

• According to the given Venn diagram, answer the following questions:
1. Which type of sets are \(A\) and \(B\)?[1]
2. Make any two proper subsets from set \(A\).[1]
3. If the members \(1\) and \(2\) are taken out from the given Venn diagram, then write the relationship between set \(A\) and set \(B\).[1]
1. Sets \(A\) and \(B\) are overlapping sets.
   Because they share common elements \(1\) and \(2\), i.e., \(A \cap B = \{1, 2\} \neq \emptyset\).
2. From the Venn diagram, \(A = \{1, 2, 3, 4\}\).
   Any two proper subsets of A are
   \(\{3, 4\}\) and \(\{1\}\) All proper subsets of \(A\) are listed below .

   Number of Elements	Proper Subsets (examples)	Count
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}\)	4
   2	\(\{1,2\}, \{1,3\}, \{3,4\}, \{2,4\}\), etc.	6
   3	\(\{1,2,3\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}\), etc.	4
   Total Proper Subsets		15

3. If elements \(1\) and \(2\) are removed, then
   New \(A = \{3, 4\}\)
   New \(B = \{5, 7\}\)
   Now, \(A \cap B = \emptyset\).
   Therefore, sets \(A\) and \(B\) become disjoint sets.
• दिइएको भेन चित्रका आधारमा तलका प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस्:
1. समूह \(A\) र \(B\) कस्ता प्रकारका समूहहरू हुन्?[1]
2. समूह \(A\) बाट कुनै दुई ओटा उचित उपसमूहहरू तयार पार्नुहोस् ।[1]
3. यदि दिइएको भेन चित्रबाट सदस्यहरू \(1\) र \(2\) लाई हटाइयो भने, समूह \(A\) र समूह \(B\) बीचको सम्बन्ध लेख्नुहोस् ।[1]
1. समूह \(A\) र \(B\) खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
   किनभने यिनीहरूमा साझा सदस्यहरू \(1\) र \(2\) छन्, अर्थात् \(A \cap B = \{1, 2\} \neq \emptyset\)।
2. भेनचित्र अनुसार, समूह \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) छ।
   समूह A का कुनै पनि दुईवटा उपयुक्त उपसमूहहरू (proper subsets) निम्न हुन्:
   \(\{3, 4\}\) र \(\{1\}\) समूह \(A\) का सबै उपयुक्त उपसमूहहरू तलको तालिकामा दिइएको छ:

   सदस्यहरूको सङ्ख्या	उपयुक्त उपसमूहहरू (उदाहरणहरू)	सङ्ख्या
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}\)	4
   2	\(\{1,2\}, \{1,3\}, \{3,4\}, \{2,4\}\), आदि।	6
   3	\(\{1,2,3\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}\), आदि।	4
   कुल उपयुक्त उपसमूहहरू		15

3. यदि सदस्यहरू \(1\) र \(2\) लाई हटाइयो भने:
   नयाँ \(A = \{3, 4\}\)
   नयाँ \(B = \{5, 7\}\)
   अब, \(A \cap B = \emptyset\) हुन्छ।
   तसर्थ, समूह \(A\) र \(B\) अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) बन्दछन्। [Image of disjoint sets Venn diagram]

Question 14

• Study the Venn diagram and answer the following questions:
1. List the elements of set R and S by listing method.[1]
2. Write the improper subset formed from the set R.[1]
3. In which condition do the given sets R and S become disjoint sets?[1]
1. From the Venn diagram:
   \( R = \{a, b, c\} \)
   \( S = \{c, d, e\} \)
2. The improper subset formed from set \(R\) is the set \(R\) itself.
   \( \{a, b, c\} \)
3. Sets \(R\) and \(S\) become disjoint when they have no common elements.
   Therefore, if the element \(c\) is removed from either \(R\) or \(S\) (or both), then
   \(R\) and \(S\) become disjoint set.
• भेन चित्र को अध्ययन गर्नुहोस् र तलका प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस्:
1. सूचीकरण विधिबाट समूह R र S का सदस्यहरूको सूची बनाउनुहोस् ।[1]
2. समूह R बाट बन्ने अनुचित उपसमूह लेख्नुहोस् ।[1]
3. कुन अवस्थामा दिइएका समूहहरू R र S अलगिएका का समूहहरू (disjoint sets) हुन्छन्?[1]
1. भेनचित्र अनुसार:
   \( R = \{a, b, c\} \)
   \( S = \{c, d, e\} \)
2. समूह \(R\) बाट बन्ने अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) समूह \(R\) आफैँ हो।
   \( \{a, b, c\} \)
3. समूहहरू \(R\) र \(S\) बीच कुनै पनि साझा सदस्य नहुँदा ती अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) बन्दछन्।
   तसर्थ, यदि सदस्य \(c\) लाई समूह \(R\) वा समूह \(S\) (अथवा दुवै) बाट हटाइयो भने:
   \(R\) र \(S\) अलगिएका समूहहरू बन्दछन्।

Question 15

• Study the given Venn diagram and answer the following questions:
1. From listing method, write the elements of sets \(A\) and \(B\).[1]
2. Write the improper subset from the set \(A\).[1]
3. In which condition do the given sets \(A\) and \(B\) become disjoint?[1]
1. From the Venn diagram:
   \( A = \{a, b, c\} \)
   \( B = \{c, d, e\} \)
2. The improper subset of set \(A\) is the set \(A\) itself.
   \( \{a, b, c\} \)
3. Sets \(A\) and \(B\) become disjoint when they have no common elements.
   Thus, if the element \(c\) is removed from either \(A\) or \(B\) (or both),Then
   Sets \(A\) and \(B\) become disjoint
• दिइएको भेन चित्रको अध्ययन गर्नुहोस् र तलका प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस्:
1. सूचीकरण विधिबाट समूह \(A\) र \(B\) का सदस्यहरू लेख्नुहोस् ।[1]
2. समूह \(A\) बाट बन्ने अनुचित उपसमूह लेख्नुहोस् ।[1]
3. कुन अवस्थामा दिइएका समूहहरू \(A\) र \(B\) अलगिएका का समूह (disjoint) हुन्छन्?[1]
1. भेनचित्र अनुसार:
   \( A = \{a, b, c\} \)
   \( B = \{c, d, e\} \)
2. समूह \(A\) को अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) समूह \(A\) आफैँ हो।
   \( \{a, b, c\} \)
3. समूहहरू \(A\) र \(B\) बीच कुनै पनि साझा सदस्य नहुँदा ती अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) बन्दछन्।
   तसर्थ, यदि साझा सदस्य \(c\) लाई समूह \(A\) वा समूह \(B\) (अथवा दुवै) बाट हटाइयो भने:
   समूह \(A\) र \(B\) अलगिएका समूहहरू बन्दछन्। [Image of disjoint sets Venn diagram]

Question 16

• Observe the given Venn diagram and answer the following questions.
1. Write the common elements of sets \(A\) and \(B\).[1]
2. Write a proper subset of set \(A\).[1]
3. If \(t\) is removed from set \(B\), then write the relation of sets \(A\) and \(B\) in set notation.[1]
1. The common elements of sets \(A\) and \(B\) are those in the intersection region, whihch is
   \( A \cap B = \{r, s\} \)
2. From the Venn diagram, \(A = \{p, q, r, s\}\).
   One proper subset of \(A\) is \(\{p, q\}\)

   Number of Elements	Proper Subsets (examples)	Count
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{p\}, \{q\}, \{r\}, \{s\}\)	4
   2	\(\{p,q\}, \{p,r\}, \{p,s\}, \{q,r\}, \{q,s\}, \{r,s\}\)	6
   3	\(\{p,q,r\}, \{p,q,s\}, \{p,r,s\}, \{q,r,s\}\)	4
   Total Proper Subsets		15

3. If \(t\) is removed, then new set \(B = \{r, s\}\)
   Then the relation of sets \(A\) and \(B\) in set notation is \( B \subset A \).
• दिइएको भेन चित्रको अवलोकन गर्नुहोस् र तलका प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् ।
1. समूह \(A\) र \(B\) का साझा सदस्यहरू लेख्नुहोस् ।[1]
2. समूह \(A\) को एउटा उचित उपसमूह लेख्नुहोस् ।[1]
3. यदि समूह \(B\) बाट \(t\) लाई हटाइयो भने, समूह \(A\) र \(B\) को सम्बन्धलाई समूह संकेतमा लेख्नुहोस् ।[1]
1. समूह \(A\) र \(B\) का साझा सदस्यहरू प्रतिच्छेदन क्षेत्रमा रहेका सदस्यहरू हुन्, जुन निम्न छ:
   \( A \cap B = \{r, s\} \) [Image of intersection of two sets Venn diagram]
2. भेनचित्र अनुसार, समूह \(A = \{p, q, r, s\}\) छ।
   समूह \(A\) को एउटा उपयुक्त उपसमूह (proper subset): \(\{p, q\}\) हो।

   सदस्यहरूको सङ्ख्या	उपयुक्त उपसमूहहरू (उदाहरणहरू)	सङ्ख्या
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{p\}, \{q\}, \{r\}, \{s\}\)	4
   2	\(\{p,q\}, \{p,r\}, \{p,s\}, \{q,r\}, \{q,s\}, \{r,s\}\)	6
   3	\(\{p,q,r\}, \{p,q,s\}, \{p,r,s\}, \{q,r,s\}\)	4
   कुल उपयुक्त उपसमूहहरू		15

3. यदि सदस्य \(t\) लाई हटाइयो भने, नयाँ समूह \(B = \{r, s\}\) हुन्छ।
   त्यस अवस्थामा, समूह \(A\) र \(B\) बीचको सम्बन्धलाई समूह संकेतमा \( B \subset A \) लेखिन्छ।

Question 17

• Study the Venn diagram alongside and answer the following questions.
1. Write the sets \(M\) and \(N\) by description method and tabulation method.[1]
2. Write the universal set \(U\).[1]
3. Are \(M\) and \(N\) disjoint or overlapping sets? Why?[1]
1. From the Venn diagram
   The sets \(M\) and \(N\) by tabulation method are as follows.
   \(M = \{3, 6, 9, 12\}\)
   \(N = \{6, 12, 18, 24\}\)
   The sets \(M\) and \(N\) by description method are as follows.
   \(M = \{x \mid x \text{ is a multiple of } 3 \text{ and } x \leq 12\}\)
   \(N = \{x \mid x \text{ is a multiple of } 6 \text{ and } 6 \leq x \leq 24\}\)
2. The universal set \(U\) is
   \(U = \{3, 6, 9, 12, 18, 21, 24, 30\}\)
3. Sets \(M\) and \(N\) are overlapping sets.
   Because they share common elements \(6\) and \(12\)
   \(M \cap N = \{6, 12\} \neq \emptyset\).
• साथैको भेन चित्रको अध्ययन गर्नुहोस् र तलका प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् ।
1. समूह \(M\) र \(N\) लाई वर्णन विधि (description method) र सूचीकरण विधि (tabulation method) मा लेख्नुहोस् ।[1]
2. सर्वव्यापक समूह \(U\) लेख्नुहोस् ।[1]
3. के \(M\) र \(N\) अलगिएका का समूह हुन् कि खप्टिएका समूह? किन?[1]
1. भेनचित्र अनुसार:
   सूचीकरण विधि (Tabulation method) बाट समूह \(M\) र \(N\) निम्नानुसार छन्:
   \(M = \{3, 6, 9, 12\}\)
   \(N = \{6, 12, 18, 24\}\)
   वर्णन विधि (Description method) बाट समूह \(M\) र \(N\) निम्नानुसार छन्:
   \(M = \{x \mid x, \text{ 3 का गुणाजहरू हुन् र } x \leq 12\}\)
   \(N = \{x \mid x, \text{ 6 का गुणाजहरू हुन् र } 6 \leq x \leq 24\}\)
2. सर्वव्यापक समूह \(U\) निम्न छ:
   \(U = \{3, 6, 9, 12, 18, 21, 24, 30\}\)
3. समूह \(M\) र \(N\) खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
   किनभने यिनीहरूमा साझा सदस्यहरू \(6\) र \(12\) छन्।
   अर्थात्, \(M \cap N = \{6, 12\} \neq \emptyset\)।

Question 18

• Study the given Venn diagram and answer the following questions.
1. Write the set notation for the shaded region.[1]
2. Write all the possible subsets formed from set \(B\).[1]
3. Which elements must be removed from both sets to make them disjoint sets?[1]
1. The shaded region described as
   Shaded region = \(A \cap B = \{1, 2\}\)
   
2. From the Venn diagram, set \(B = \{1, 2, 6\}\)
   All possible subsets of \(B\) are listed below:

   Number of Elements	Subsets	Count
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{1\}, \{2\}, \{6\}\)	3
   2	\(\{1,2\}, \{1,6\}, \{2,6\}\)	3
   3	\(\{1, 2, 6\}\)	1
   Total Subsets		8

   Since \(B\) has \(n = 3\) elements, total subsets = \(2^3 = 8\).)

3. The elements \(1\) and \(2\) from both sets must be removed so that new sets \(A = \{4, 8\}\) and \(B = \{6\}\) will be disjoint.
• दिइएको भेन चित्रको अध्ययन गर्नुहोस् र तलका प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् ।
1. छाया पारिएको भागलाई समूह संकेतमा लेख्नुहोस् ।[1]
2. समूह \(B\) बाट बन्न सक्ने सबै सम्भावित उपसमूहहरू लेख्नुहोस् ।[1]
3. दुवै समूहलाई अलगिएका समूह (disjoint sets) बनाउन कुन कुन सदस्यहरू हटाउनुपर्छ?[1]
1. छायाँ पारिएको भागलाई यसरी वर्णन गरिएको छ:
   छायाँ पारिएको भाग = \(A \cap B = \{1, 2\}\)
   
2. भेनचित्र अनुसार, समूह \(B = \{1, 2, 6\}\) छ।
   समूह \(B\) का सम्भावित सबै उपसमूहहरू तल सूचीकृत गरिएको छ:

   सदस्यहरूको सङ्ख्या	उपसमूहहरू	सङ्ख्या
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{1\}, \{2\}, \{6\}\)	3
   2	\(\{1, 2\}, \{1, 6\}, \{2, 6\}\)	3
   3	\(\{1, 2, 6\}\)	1
   कुल उपसमूहहरू		8

   (यहाँ समूह \(B\) मा \(n = 3\) वटा सदस्यहरू भएकोले, कुल उपसमूह सङ्ख्या = \(2^3 = 8\) हुन्छ।)

3. दुवै समूहहरूबाट सदस्यहरू \(1\) र \(2\) लाई हटाउनुपर्छ, जसले गर्दा नयाँ समूह \(A = \{4, 8\}\) र \(B = \{6\}\) अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) बन्नेछन्।

Question 19

• If \(A = \{1, 2, 3\}\) and \(B = \{0, 2, 3, 4\}\),
1. How many improper subsets does set \(A\) have?[1]
2. Find the value of \(A \cap B\).[1]
3. Represent \(A \cap B\) in a Venn diagram.[1]
1. A set has exactly one improper subset, which is the set itself.
   
2. The intersection of sets \(A\) and \(B\) is the set of common elements
   So, \(A \cap B = \{2, 3\}\)
3. The Venn diagram for \(A \cap B = \{2, 3\}\) is shown below.
• यदि \(A = \{1, 2, 3\}\) र \(B = \{0, 2, 3, 4\}\) भए,
1. समूह \(A\) का कति ओटा अनुचित उपसमूहहरू (improper subsets) हुन्छन्?[1]
2. \(A \cap B\) को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।[1]
3. \(A \cap B\) लाई भेन चित्रमा प्रस्तुत गर्नुहोस् ।[1]
1. कुनै पनि समूहको ठीक एउटा मात्र अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) हुन्छ, जुन समूह आफैँ हो।
   
2. समूह \(A\) र \(B\) को प्रतिच्छेदन (intersection) भन्नाले साझा सदस्यहरूको समूहलाई बुझिन्छ।
   त्यसैले, \(A \cap B = \{2, 3\}\)
3. \(A \cap B = \{2, 3\}\) को लागि भेनचित्र तल देखाइएको छ:

Question 20

• Answer the following questions from the given Venn diagram.
1. Write the improper subset of the set \(P\).[1]
2. Write the elements of set \(U\) by listing method.[1]
3. How many subsets are formed from set \(Q\)?[1]
1. From the Venn diagram, set \(P = \{5, 7, 2, 3\}\).
   The improper subset of \(P\) is the set itself.
   \(\{2, 3, 5, 7\}\)
2. The universal set \(U\) includes all elements shown in the rectangle, which is
   \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 7\}\)
3. From the diagram, set \(Q = \{1, 4, 2, 3\}\), so it has \(n = 4\) elements.
   Therefore, total number of subsets of \(Q\) with \(4\) elements \(2^4 = 16\).

   Number of Elements	Subsets	Count
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}\)	4
   2	\(\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}\)	6
   3	\(\{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}\)	4
   4	\(\{1, 2, 3, 4\}\)	1
   Total Subsets		16

• दिइएको भेन चित्रबाट तलका प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् ।
1. समूह \(P\) को अनुचित उपसमूह (improper subset) लेख्नुहोस् ।[1]
2. सूचीकरण विधिबाट सर्वव्यापक समूह \(U\) का सदस्यहरू लेख्नुहोस् ।[1]
3. समूह \(Q\) बाट जम्मा कति ओटा उपसमूहहरू बन्छन्?[1]
1. भेनचित्र अनुसार, समूह \(P = \{5, 7, 2, 3\}\) छ।
   समूह \(P\) को अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) समूह आफैँ हो:
   \(\{2, 3, 5, 7\}\)
2. सर्वव्यापक समूह \(U\) मा आयतभित्र रहेका सबै सदस्यहरू पर्दछन्, जुन निम्न छ:
   \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 7\}\)
3. भेनचित्रबाट, समूह \(Q = \{1, 4, 2, 3\}\) छ, जसमा सदस्य संख्या \(n = 4\) छ।
   त्यसैले, ४ वटा सदस्यहरू भएको समूह \(Q\) को जम्मा उपसमूह सङ्ख्या \(2^4 = 16\) हुन्छ।

   सदस्यहरूको सङ्ख्या	उपसमूहहरू	सङ्ख्या
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}\)	4
   2	\(\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}\)	6
   3	\(\{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}\)	4
   4	\(\{1, 2, 3, 4\}\)	1
   कुल उपसमूहहरू		16

Question 21

• Two sets \(M\) and \(N\) are presented below: \(M = \{a, p, l, e\}\), \(N = \{p, a, n\}\).
1. Are the sets \(M\) and \(N\) overlapping sets? Give a reason.[1]
2. How many subsets can be made from set \(M\)?[1]
3. Represent the given sets \(M\) and \(N\) in a Venn diagram.[1]
1. Yes, sets \(M\) and \(N\) are overlapping sets.
   Because they share common elements \(a\) and \(p\), i.e., \(M \cap N = \{a, p\} \neq \emptyset\).
2. Set \(M = \{a, p, l, e\}\) has \(n = 4\) elements.
   The total number of subsets of a set with \(n\) elements is \(2^n\).
   So, number of subsets of \(M = 2^4 = 16\).
3. The Venn diagram for sets \(M\) and \(N\) is shown as below.
• दुई ओटा समूहहरू \(M\) र \(N\) तल दिइएका छन्: \(M = \{a, p, l, e\}\), \(N = \{p, a, n\}\) ।
1. के समूहहरू \(M\) र \(N\) खप्टिएका समूहहरू हुन्? कारण दिनुहोस् ।[1]
2. समूह \(M\) बाट कति ओटा उपसमूहहरू बन्न सक्छन्?[1]
3. दिइएका समूहहरू \(M\) र \(N\) लाई भेन चित्रमा प्रस्तुत गर्नुहोस् ।[1]
1. हो, समूह \(M\) र \(N\) खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
   किनभने यिनीहरूमा साझा सदस्यहरू \(a\) र \(p\) छन्, अर्थात् \(M \cap N = \{a, p\} \neq \emptyset\)।
2. समूह \(M = \{a, p, l, e\}\) मा सदस्यहरूको सङ्ख्या \(n = 4\) छ।
   \(n\) वटा सदस्यहरू भएको समूहको कुल उपसमूह सङ्ख्या \(2^n\) हुन्छ।
   त्यसैले, समूह \(M\) का उपसमूहहरूको सङ्ख्या = \(2^4 = 16\) हुन्छ।
3. समूह \(M\) र \(N\) का लागि भेनचित्र तल देखाइएको छ:

Question 22

• The subsets \(A\) and \(B\) of the universal set \(U\) are presented in the Venn diagram.
1. Identify and write whether the sets \(A\) and \(B\) are overlapping or disjoint.[1]
2. Write the improper subset that can be made from set \(B\).[1]
3. How many more or less proper subsets can be made from set \(B\) than from set \(A\)?[1]
1. Sets \(A\) and \(B\) are overlapping sets.
   Because they share common elements \(4\) and \(5\), i.e., \(A \cap B = \{4, 5\} \neq \emptyset\).
2. From the Venn diagram, \(B = \{4, 5, 6, 7\}\).
   The improper subset of \(B\) is the set itself, which is
   \(\{4, 5, 6, 7\}\)
3. We know that, number of proper subsets = \(2^n - 1\), thus
   Proper subsets of \(A = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7\)
   Proper subsets of \(B = 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15\)
   Difference = \(15 - 7 = 8\)
   Therefore, 8 more proper subsets can be made from set \(B\) than from set \(A\).
• सर्वव्यापक समूह \(U\) का उपसमूहहरू \(A\) र \(B\) लाई भेन चित्रमा प्रस्तुत गरिएको छ ।
1. समूह \(A\) र \(B\) खप्टिएका (overlapping) हुन् कि अलगिएका (disjoint) हुन्, पहिचान गरी लेख्नुहोस् ।[1]
2. समूह \(B\) बाट बन्न सक्ने अनुचित उपसमूह (improper subset) लेख्नुहोस् ।[1]
3. समूह \(A\) को तुलनामा समूह \(B\) बाट कति धेरै वा थोरै उचित उपसमूहहरू (proper subsets) बन्न सक्छन्?[1]
1. समूह \(A\) र \(B\) खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
   किनभने यिनीहरूमा साझा सदस्यहरू \(4\) र \(5\) छन्, अर्थात् \(A \cap B = \{4, 5\} \neq \emptyset\)।
2. भेनचित्र अनुसार, समूह \(B = \{4, 5, 6, 7\}\) छ।
   समूह \(B\) को अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) समूह आफैँ हो, जुन निम्न छ:
   \(\{4, 5, 6, 7\}\)
3. हामीलाई थाहा छ, उपयुक्त उपसमूहहरूको सङ्ख्या = \(2^n - 1\), त्यसैले:
   समूह \(A\) का उपयुक्त उपसमूहहरू = \(2^3 - 1 = 8 - 1 = 7\)
   समूह \(B\) का उपयुक्त उपसमूहहरू = \(2^4 - 1 = 16 - 1 = 15\)
   अन्तर = \(15 - 7 = 8\)
   तसर्थ, समूह \(A\) को तुलनामा समूह \(B\) बाट ८ वटा बढी उपयुक्त उपसमूहहरू बनाउन सकिन्छ।

Question 23

• The elements of sets \(A\) and \(B\) are shown in the adjoining Venn diagram.
1. Define proper subset.[1]
2. Write the improper subset of set \(A\).[1]
3. If \(e, i, o, u\) are the only elements of set \(B\), what type of relation exists between sets \(A\) and \(B\)? Write with reason.[1]
1. A proper subset of a set \(A\) is a subset that contains some, but not all, elements of given set \(A\), or is the empty set.
   Formally, \(B\) is a proper subset of \(A\) if \(B \subseteq A\) and \(B \neq A\).
2. From the Venn diagram, set \(A = \{a, b, c\}\).
   The improper subset of \(A\) is the set \(A\) itself, which is
   \(\{a, b, c\}\)
3. If \(B = \{e, i, o, u\}\), then \(A = \{a, b, c\}\) and \(B = \{e, i, o, u\}\) share no common elements.
   Therefore, sets \(A\) and \(B\) are disjoint sets.
• साथैको भेन चित्रमा समूह \(A\) र \(B\) का सदस्यहरूलाई देखाइएको छ ।
1. उचित उपसमूह (proper subset) को परिभाषा लेख्नुहोस् ।[1]
2. समूह \(A\) को अनुचित उपसमूह लेख्नुहोस् ।[1]
3. यदि \(e, i, o, u\) मात्र समूह \(B\) का सदस्यहरू हुन् भने, समूह \(A\) र \(B\) बीच कस्तो सम्बन्ध रहन्छ? कारणसहित लेख्नुहोस् ।[1]
1. समूह \(A\) को उपयुक्त उपसमूह (proper subset) भन्नाले यस्तो उपसमूहलाई बुझिन्छ जसमा दिइएको समूह \(A\) का केही सदस्यहरू हुन्छन् तर सबै सदस्यहरू हुँदैनन्, वा यो एउटा खाली समूह (empty set) हो।
   औपचारिक रूपमा, यदि \(B \subseteq A\) र \(B \neq A\) हुन्छ भने, \(B\) लाई \(A\) को उपयुक्त उपसमूह भनिन्छ।
2. भेनचित्र अनुसार, समूह \(A = \{a, b, c\}\) छ।
   समूह \(A\) को अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) समूह \(A\) आफैँ हो, जुन निम्न छ:
   \(\{a, b, c\}\)
3. यदि \(B = \{e, i, o, u\}\) भएमा, समूह \(A = \{a, b, c\}\) र समूह \(B = \{e, i, o, u\}\) बीच कुनै पनि साझा सदस्यहरू छैनन्।
   तसर्थ, समूह \(A\) र \(B\) अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) हुन्।

Question 24

• Two sets \(A\) and \(B\) are \(A = \{1, 3, 5, 7, 9\}\), \(B = \{2, 3, 5\}\).
1. Present the sets \(A\) and \(B\) in a Venn diagram.[1]
2. Illustrate all the proper subsets that can be made from set \(B\).[2]
1. The Venn diagram for sets \(A = \{1, 3, 5, 7, 9\}\) and \(B = \{2, 3, 5\}\) is shown below.
2. Set \(B = \{2, 3, 5\}\) has \(n = 3\) elements. So, its proper subsets are given below.

   Number of Elements	Proper Subsets	Count
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{2\}, \{3\}, \{5\}\)	3
   2	\(\{2,3\}, \{2,5\}, \{3,5\}\)	3
   Total Proper Subsets		7

• दुई ओटा समूहहरू \(A\) र \(B\) क्रमशः \(A = \{1, 3, 5, 7, 9\}\) र \(B = \{2, 3, 5\}\) छन् ।
1. समूहहरू \(A\) र \(B\) लाई भेन चित्रमा प्रस्तुत गर्नुहोस् ।[1]
2. समूह \(B\) बाट बन्न सक्ने सबै उचित उपसमूहहरू (proper subsets) लेख्नुहोस् ।[2]
1. समूह \(A = \{1, 3, 5, 7, 9\}\) र \(B = \{2, 3, 5\}\) को भेनचित्र तल देखाइएको छ।
2. समूह \(B = \{2, 3, 5\}\) मा सदस्यहरूको सङ्ख्या \(n = 3\) छ। त्यसैले, यसका उपयुक्त उपसमूहहरू (proper subsets) तल दिइएको छ:

   सदस्यहरूको सङ्ख्या	उपयुक्त उपसमूहहरू	सङ्ख्या
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{2\}, \{3\}, \{5\}\)	3
   2	\(\{2,3\}, \{2,5\}, \{3,5\}\)	3
   कुल उपयुक्त उपसमूहहरू		7

Question 25

• If the sets \(A = \{3, 4, 5, 7\}\) and \(B = \{2, 3, 4, 9\}\),
1. Which of the sets \(A\) and \(B\) are overlapping or disjoint? Write it.[1]
2. Form any two proper subsets of set \(A\).[1]
3. If set \(C = \{2, 3, 4, 9\}\), then the set \(C\) is an proper subset of set \(B\). Give a reason.[1]
1. Sets \(A\) and \(B\) are overlapping sets.
   Because they share common elements \(3\) and \(4\), i.e., \(A \cap B = \{3, 4\} \neq \emptyset\).
2. Set \(A = \{3, 4, 5, 7\}\).
   Two proper subsets of \(A\) are
   \(\{3, 4\}\) and \(\{5, 7\}\)

   Number of Elements	Proper Subsets	Count
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{3\}, \{4\}, \{5\}, \{7\}\)	4
   2	\(\{3,4\}, \{3,5\}, \{3,7\}, \{4,5\}, \{4,7\}, \{5,7\}\)	6
   3	\(\{3,4,5\}, \{3,4,7\}, \{3,5,7\}, \{4,5,7\}\)	4
   Total Proper Subsets		15

3. Given \(B = \{2, 3, 4, 9\}\) and \(C = \{2, 3, 4, 9\}\), we see that \(C = B\).
   Since \(C\) contains exactly the same elements as \(B\), we say \(C\) is a improper subset of \(B\).
• यदि समूहहरू \(A = \{3, 4, 5, 7\}\) र \(B = \{2, 3, 4, 9\}\) भए,
1. समूह \(A\) र \(B\) खप्टिएका (overlapping) हुन् कि अलगिएका (disjoint) हुन्? लेख्नुहोस् ।[1]
2. समूह \(A\) बाट कुनै दुई ओटा उचित उपसमूहहरू (proper subsets) तयार पार्नुहोस् ।[1]
3. यदि समूह \(C = \{2, 3, 4, 9\}\) भए, के समूह \(C\) समूह \(B\) को उचित उपसमूह हो? कारण दिनुहोस् ।[1]
1. समूह \(A\) र \(B\) खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
   किनभने यिनीहरूमा साझा सदस्यहरू \(3\) र \(4\) छन्, अर्थात् \(A \cap B = \{3, 4\} \neq \emptyset\)।
2. समूह \(A = \{3, 4, 5, 7\}\) छ।
   समूह \(A\) का कुनै दुईवटा उपयुक्त उपसमूहहरू (proper subsets) निम्न हुन्:
   \(\{3, 4\}\) र \(\{5, 7\}\)

   सदस्यहरूको सङ्ख्या	उपयुक्त उपसमूहहरू	सङ्ख्या
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{3\}, \{4\}, \{5\}, \{7\}\)	4
   2	\(\{3,4\}, \{3,5\}, \{3,7\}, \{4,5\}, \{4,7\}, \{5,7\}\)	6
   3	\(\{3,4,5\}, \{3,4,7\}, \{3,5,7\}, \{4,5,7\}\)	4
   कुल उपयुक्त उपसमूहहरू		15

3. यहाँ \(B = \{2, 3, 4, 9\}\) र \(C = \{2, 3, 4, 9\}\) दिइएको छ, जसबाट हामी देख्न सक्छौँ कि \(C = B\) छ।
   किनकि समूह \(C\) मा समूह \(B\) मा रहेका ठ्याक्कै उही सदस्यहरू छन्, त्यसैले हामी भन्न सक्छौँ कि \(C\), \(B\) को एउटा अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) हो।

Question 26

• Two subsets of universal set \(U = \{a, e, i, o, u\}\) are \(A = \{e, o, u\}\) and \(B = \{a, e, i\}\).
1. What type of sets are \(A\) and \(B\)—overlapping or disjoint? Write it.[1]
2. Write one proper and one improper subset of set \(A\).[1]
3. If the element \(e\) is removed from both sets \(A\) and \(B\), then what type of sets are \(A\) and \(B\)? Write with reason.[1]
1. Sets \(A\) and \(B\) are overlapping sets.
   Because they share the common element \(e\), i.e., \(A \cap B = \{e\} \neq \emptyset\).
2. Set \(A = \{e, o, u\}\).
   One proper subset of \(A\): \(\{o, u\}\)
   One improper subset of \(A\): \(\{e, o, u\}\) (the set itself)

   Number of Elements	Subsets	Count
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{e\}, \{o\}, \{u\}\)	3
   2	\(\{e, o\}, \{e, u\}, \{o, u\}\)	3
   3	\(\{e, o, u\}\)	1
   Total Subsets		8

3. After removing \(e\) from both sets, we get
   New \(A = \{o, u\}\)
   New \(B = \{a, i\}\)
   Now, \(A \cap B = \emptyset\) (no common elements). Therefore, \(A\) and \(B\) become disjoint sets.
• सर्वव्यापक समूह \(U = \{a, e, i, o, u\}\) का दुई ओटा उपसमूहहरू \(A = \{e, o, u\}\) र \(B = \{a, e, i\}\) छन् ।
1. समूह \(A\) र \(B\) खप्टिएका (overlapping) हुन् कि अलगिएका (disjoint) हुन्? लेख्नुहोस् ।[1]
2. समूह \(A\) को एउटा उचित (proper) र एउटा अनुचित (improper) उपसमूह लेख्नुहोस् ।[1]
3. यदि दुवै समूह \(A\) र \(B\) बाट सदस्य \(e\) लाई हटाइयो भने, समूह \(A\) र \(B\) कस्ता प्रकारका समूहहरू हुन्छन्? कारणसहित लेख्नुहोस् ।[1]
1. समूह \(A\) र \(B\) खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
   किनभने यिनीहरूमा साझा सदस्य \(e\) छ, अर्थात् \(A \cap B = \{e\} \neq \emptyset\)।
2. समूह \(A = \{e, o, u\}\) छ।
   समूह \(A\) को एउटा उपयुक्त उपसमूह: \(\{o, u\}\)
   समूह \(A\) को एउटा अनुपयुक्त उपसमूह: \(\{e, o, u\}\) (समूह आफैँ)

   सदस्यहरूको सङ्ख्या	उपसमूहहरू	सङ्ख्या
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{e\}, \{o\}, \{u\}\)	3
   2	\(\{e, o\}, \{e, u\}, \{o, u\}\)	3
   3	\(\{e, o, u\}\)	1
   कुल उपसमूहहरू		8

3. दुवै समूहहरूबाट \(e\) लाई हटाएपछि, हामीले निम्न प्राप्त गर्छौँ:
   नयाँ \(A = \{o, u\}\)
   नयाँ \(B = \{a, i\}\)
   अब, \(A \cap B = \emptyset\) (कुनै साझा सदस्य छैन)। त्यसैले, \(A\) र \(B\) अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) बन्दछन्।

Question 27

• Study the given Venn diagram and answer the following questions.
1. Define disjoint sets.[1]
2. Write any one proper subset of set \(P\).[1]
3. If the common element \(5\) is removed from the Venn diagram, then what will be the relation between sets \(P\) and \(Q\)? Write it.[1]
1. Two sets are called disjoint sets if they have no elements in common.
   In other words, sets \(A\) and \(B\) are disjoint if \(A \cap B = \emptyset\).
2. From the Venn diagram:
   Set \(P = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)
   One proper subset of \(P\) is \(\{1, 2, 3\}\)

   Elements	Subsets	Count
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{5\}\)	5
   2	\(\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{1,5\}, \{2,3\}\) \(\{2,4\}, \{2,5\}, \{3,4\}, \{3,5\}, \{4,5\}\)	10
   3	\(\{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \{1,2,5\}, \{1,3,4\}, \{1,3,5\}\) \( \{1,4,5\}, \{2,3,4\}, \{2,3,5\}, \{2,4,5\}, \{3,4,5\}\)	10
   4	\(\{1,2,3,4\}, \{1,2,3,5\}, \{1,2,4,5\}, \{1,3,4,5\}, \{2,3,4,5\}\)	5
   Total Proper Subsets		31

3. If element \(5\) is removed from the diagram (i.e., from both \(P\) and \(Q\)), then
   New \(P = \{1, 2, 3, 4\}\)
   New \(Q = \{6, 7, 8, 9\}\)
   Now, \(P \cap Q = \emptyset\), therefore, sets \(P\) and \(Q\) become disjoint sets.
• दिइएको भेन चित्रको अध्ययन गर्नुहोस् र तलका प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् ।
1. अलगिएका समूह (disjoint sets) को परिभाषा लेख्नुहोस् ।[1]
2. समूह \(P\) को कुनै एउटा उचित उपसमूह (proper subset) लेख्नुहोस् ।[1]
3. यदि साझा सदस्य \(5\) लाई भेन चित्रबाट हटाइयो भने, समूह \(P\) र \(Q\) बीचको सम्बन्ध के हुन्छ? लेख्नुहोस् ।[1]
1. यदि दुईवटा समूहहरूमा कुनै पनि साझा सदस्यहरू छैनन् भने तिनीहरूलाई अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) भनिन्छ।
   अर्को शब्दमा, यदि \(A \cap B = \emptyset\) हुन्छ भने समूह \(A\) र \(B\) अलगिएका समूहहरू हुन्।
2. भेनचित्र अनुसार:
   समूह \(P = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)
   समूह \(P\) को एउटा उपयुक्त उपसमूह (proper subset) \(\{1, 2, 3\}\) हो।

   सदस्य संख्या	उपसमूहहरू	गन्ती
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{5\}\)	5
   2	\(\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{1,5\}, \{2,3\}\) \(\{2,4\}, \{2,5\}, \{3,4\}, \{3,5\}, \{4,5\}\)	10
   3	\(\{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \{1,2,5\}, \{1,3,4\}, \{1,3,5\}\) \( \{1,4,5\}, \{2,3,4\}, \{2,3,5\}, \{2,4,5\}, \{3,4,5\}\)	10
   4	\(\{1,2,3,4\}, \{1,2,3,5\}, \{1,2,4,5\}, \{1,3,4,5\}, \{2,3,4,5\}\)	5
   कुल उपयुक्त उपसमूहहरू		31

3. यदि चित्रबाट सदस्य \(5\) लाई हटाइयो भने (अर्थात् \(P\) र \(Q\) दुवैबाट):
   नयाँ \(P = \{1, 2, 3, 4\}\)
   नयाँ \(Q = \{6, 7, 8, 9\}\)
   अब, \(P \cap Q = \emptyset\) हुन्छ, त्यसैले समूह \(P\) र \(Q\) अलगिएका समूहहरू बन्दछन्।

Question 28

• If set \(A = \{\text{even numbers up to }15\}\) and set \(B = \{\text{prime numbers up to }15\}\),
1. Define overlapping sets.[1]
2. Make any two proper subsets from set \(B\).[1]
3. What change in the outcome of set \(B\) makes the two sets \(A\) and \(B\) disjoint?[1]
1. Two sets are called overlapping sets if they have at least one element in common.
   In other words, sets \(A\) and \(B\) are overlapping if \(A \cap B \neq \emptyset\).
2. Given that,
   \(B = \{\text{prime numbers up to }15\}= \{2, 3, 5, 7, 11, 13\}\)
   Two proper subsets of \(B\) are
   \(\{2, 3\}\) and \(\{5, 7, 11\}\)
3. Given that,
   \(A = \{\text{even numbers up to }15\}= \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\}\)
   To make \(A\) and \(B\) disjoint, the common element \(2\) must be removed from set \(B\).
• यदि समूह \(A = \{15 \text{ सम्मका जोर संख्याहरू}\}\) र समूह \(B = \{15 \text{ सम्मका रूढ संख्याहरू}\}\) भए,
1. खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) को परिभाषा लेख्नुहोस् ।[1]
2. समूह \(B\) बाट कुनै दुई ओटा उचित उपसमूहहरू (proper subsets) तयार पार्नुहोस् ।[1]
3. समूह \(B\) को नतिजामा के परिवर्तन गर्दा समूह \(A\) र \(B\) अलगिएका समूह (disjoint sets) हुन्छन्?[1]
1. यदि दुईवटा समूहहरूमा कम्तिमा एउटा सदस्य साझा छ भने तिनीहरूलाई खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) भनिन्छ।
   अर्को शब्दमा, यदि \(A \cap B \neq \emptyset\) हुन्छ भने समूह \(A\) र \(B\) खप्टिएका समूहहरू हुन्।
2. दिइएको जानकारी अनुसार,
   \(B = \{\text{१५ सम्मका रूढ सङ्ख्याहरू}\} = \{2, 3, 5, 7, 11, 13\}\)
   समूह \(B\) का कुनै दुईवटा उपयुक्त उपसमूहहरू (proper subsets) निम्न हुन्:
   \(\{2, 3\}\) र \(\{5, 7, 11\}\)
3. दिइएको जानकारी अनुसार,
   \(A = \{\text{१५ सम्मका जोर सङ्ख्याहरू}\} = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\}\)
   समूह \(A\) र \(B\) लाई अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) बनाउनको लागि, साझा सदस्य \(2\) लाई समूह \(B\) बाट हटाउनुपर्छ।

Question 29

• Two sets are given: \(A = \{2, 5\}\) and \(B = \{5, 7\}\).
1. Are sets \(A\) and \(B\) overlapping or disjoint? Write it. [1]
2. Write any two proper subsets formed from set \(B\). [2]

Given sets are
\(A = \{2, 5\}\) and \(B = \{5, 7\}\)
Now

1. The sets \(A\) and \(B\) are overlapping set. Because \(\{5\}\) is common to both.
2. The two proper subsets that can be made from set \(B\) are
   \(\{5\},\{7\}\)

   Number of Elements	Proper Subsets	Count
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{5\}, \{7\}\)	2
   Total Proper Subsets		3

• दुई ओटा समूहहरू दिइएका छन्: \(A = \{2, 5\}\) र \(B = \{5, 7\}\) ।
1. समूह \(A\) र \(B\) खप्टिएका (overlapping) हुन् कि अलगिएका (disjoint) हुन्? लेख्नुहोस् । [1]
2. समूह \(B\) बाट बन्न सक्ने कुनै दुई ओटा उचित उपसमूहहरू (proper subsets) लेख्नुहोस् । [2]

दिइएका समूहहरू निम्न छन्:
\(A = \{2, 5\}\) र \(B = \{5, 7\}\)
अब,

1. समूह \(A\) र \(B\) खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्। किनभने सदस्य \(\{5\}\) दुवैमा साझा छ।
2. समूह \(B\) बाट बनाउन सकिने दुईवटा उपयुक्त उपसमूहहरू (proper subsets) निम्न हुन्:
   \(\{5\},\{7\}\)

   सदस्यहरूको सङ्ख्या	उपयुक्त उपसमूहहरू	सङ्ख्या
   0	\(\emptyset\)	1
   1	\(\{5\}, \{7\}\)	2
   कुल उपयुक्त उपसमूहहरू		3

Question 30

• Given a Venn-diagram.
  1. Define improper subset.
  2. Write the improper subset of set A.
  3. If x and y are only the members of set B, then what type of sets are A and B? Write with reason.
  1. An improper subset of a set is the set itself. It contains all the elements of the original set.
  2. The improper subset of set A is A itself.
     \(A=\{m, n, x, y\}\)
  3. If \(x\) and \(y\) are the only members of set \(B\), then \(B = \{x, y\}\). Since \(x\) and \(y\) are also in \(A\), then \(B\) would be a subset of \(A\). However, if the question implies \(x\) and \(y\) are removed from the intersection to belong only to \(B\), then they would have no common elements and be disjoint sets. Based on the logic of typical set exercises, if they share no common elements, they are disjoint.
• दिइएको भेन चित्रको आधारमा निम्न प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् ।
1. अनुपयुक्त उपसमूह (Improper subset) को परिभाषा दिनुहोस्।
2. समूह A को अनुपयुक्त उपसमूह लेख्नुहोस्।
3. यदि x र y मात्र समूह B का सदस्यहरू हुन् भने, समूह A र B कस्ता प्रकारका समूहहरू हुन्? कारणसहित लेख्नुहोस्।
1. कुनै समूहको अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) भन्नाले सो समूह आफैँलाई बुझिन्छ। यसमा मूल समूहका सबै सदस्यहरू समावेश हुन्छन्।
2. समूह \(A\) को अनुपयुक्त उपसमूह समूह \(A\) आफैँ हो।
   अर्थात्, \(\{m, n, x, y\}\)
3. यदि \(x\) र \(y\) समूह \(B\) का मात्र सदस्यहरू हुन् भने, \(B = \{x, y\}\) हुन्छ। यदि यी सदस्यहरू समूह \(A\) मा पनि छन् भने, \(B\), \(A\) को एउटा उपसमूह हुन्छ। तर, यदि \(x\) र \(y\) लाई साझा भागबाट हटाएर केवल समूह \(B\) मा मात्र राखियो भने, तिनीहरू बीच कुनै साझा सदस्य रहने छैन र ती अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) बन्नेछन्। सामान्य समूह अभ्यासहरूको तर्क अनुसार, यदि कुनै पनि साझा सदस्य छैन भने ती अलगिएका समूहहरू हुन्।

Question 31

• Study the given Venn diagram and answer the following questions.
1. List the elements of sets \(R\) and \(S\).[1]
2. Write the improper subset formed from the set \(R\).[1]
3. In which condition, the given sets \(R\) and \(S\) become disjoint?[1]
1. From the Venn diagram, we get that
   \( R = \{a, b, c\} \)
   \( S = \{c, d, e\} \)
2. The improper subset formed from set \( R \) is the set itself:
   \( \{a, b, c\} \)
3. Sets \( R \) and \( S \) become disjoint if the common element \( c \) is removed from the intersection.
• दिइएको भेन चित्र अध्ययन गर्नुहोस् र निम्न प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस्।
1. समूहहरु \(R\) र \(S\) को सदस्यहरुलाई सूचिकरण गर्नुहोस् ।[1]
2. समूह \(R\) बाट बन्ने अनुचित उपसमूह लेख्नुहोस् ।[1]
3. कुन अवस्थामा दिइएका समूहहरु \(R\) र \(S\) अलगिएका समूह बन्छन् ?[1]
1. भेनचित्रबाट, हामीले निम्न सदस्यहरू प्राप्त गर्छौँ:
   \( R = \{a, b, c\} \)
   \( S = \{c, d, e\} \)
2. समूह \( R \) बाट बन्ने अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) सो समूह आफैँ हो:
   \( \{a, b, c\} \)
3. यदि साझा सदस्य \( c \) लाई प्रतिच्छेदन (intersection) बाट हटाइयो भने समूह \( R \) र \( S \) अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) बन्दछन्।

Question 32

• Observe the Given Venn Diagram.
  1. What are the elements of the intersection of set \(A\) and set \(B\)?[1]
  2. Write any two proper subsets which can be made from set \(A = \{a, b, c, e\}\).[1]
  3. Set \(A\) and set \(B\) are overlapping sets. What should be done to make them disjoint sets? Write the newly formed disjoint sets.[1]
  1. From the Venn diagram, we get that the elements in the shared region are:
     \( A \cap B = \{a, b\} \)
  2. Any two proper subsets of \( A = \{a, b, c, e\} \) are:
     \(\{a, b\}\) and \(\{c, e\}\)
  3. To make sets \( A \) and \( B \) disjoint, the common elements \( a \) and \( b \) must be removed from the intersection. For example, by keeping them only in their original separate regions:
     New \( A = \{c, e\} \)
     New \( B = \{d, f\} \)
• दिएको भेनचित्र अवलोकन गर्नुहोस् ।
1. समूह \(A\) र \(B\) को प्रतिच्छेदन समूहमा कुन कुन सदस्यहरु पर्दछन् ?[1]
2. समूह \(A = \{a, b, c, e\}\) बाट बन्ने कुनै दुईवटा उपयुक्त उपसमूहहरु लेख्नुहोस् ।[1]
3. समूह \(A\) र \(B\) खप्टिएका समूह हुन्। यिनलाई अलगिएका समूहहरु बनाउन के गर्नुपर्छ? नयाँ बनेका अलगिएका समूहहरु लेख्नुहोस् ।[1]
1. भेनचित्रबाट, साझा भाग (shared region) मा रहेका सदस्यहरू निम्न हुन्:
   \( A \cap B = \{a, b\} \)
2. समूह \( A = \{a, b, c, e\} \) का कुनै दुईवटा उपयुक्त उपसमूहहरू (proper subsets) निम्न हुन्:
   \(\{a, b\}\) र \(\{c, e\}\)
3. समूह \( A \) र \( B \) लाई अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) बनाउनको लागि, साझा सदस्यहरू \( a \) र \( b \) लाई प्रतिच्छेदन (intersection) बाट हटाउनुपर्छ। उदाहरणका लागि, तिनीहरूलाई आ-आफ्नो छुट्टाछुट्टै भागमा मात्र राख्दा:
   नयाँ \( A = \{c, e\} \)
   नयाँ \( B = \{d, f\} \)

Question 33

• Study the given Venn diagram and answer the following questions.
  1. Define improper subset.[1]
  2. How many subsets of set \(B\) can be made? Find using the formula.[1]
  3. What type of sets are \(A\) and \(B\): overlapping or disjoint sets? Write with reason.[1]
  1. An improper subset of a set is a subset that contains every element of the original set (i.e., the set itself).
  2. From the Venn diagram, set \( B = \{1, 3, 5, 7, 9\} \), so it has \( n = 5 \) elements.
     The formula for the total number of subsets is \( 2^n \).
     Total subsets of \( B = 2^5 = 32 \).
  3. Sets \( A \) and \( B \) are overlapping sets.
     Reason: They share common elements \( \{1, 3\} \), which means their intersection is not empty (\( A \cap B \neq \emptyset \)).
• दिइएको भेन चित्र अध्ययन गर्नुहोस् र निम्न प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस्।
1. अनुचित उपसमूह (improper subset) लाई परिभाषित गर्नुहोस् ।[1]
2. समूह \(B\) का कति ओटा उपसमूह बनाउन सकिन्छ ? सूत्र प्रयोग गरी पत्ता लगाउनुहोस् ।[1]
3. समूह \(A\) र \(B\) खप्टिएका वा अलगिएका समूहहरू हुन् ? कारण सहित लेख्नुहोस् ।[1]
1. कुनै समूहको अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) भन्नाले यस्तो उपसमूहलाई बुझिन्छ जसमा मूल समूहका प्रत्येक सदस्यहरू समावेश हुन्छन् (अर्थात्, सो समूह आफैँ)।
2. भेनचित्र अनुसार, समूह \( B = \{1, 3, 5, 7, 9\} \) छ, त्यसैले यसमा सदस्य सङ्ख्या \( n = 5 \) छ।
   कुल उपसमूहहरूको सङ्ख्या निकाल्ने सूत्र \( 2^n \) हो।
   समूह \( B \) का कुल उपसमूहहरू = \( 2^5 = 32 \)।
3. समूह \( A \) र \( B \) खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
   कारण: यिनीहरूमा साझा सदस्यहरू \( \{1, 3\} \) छन्, जसको अर्थ यिनीहरूको प्रतिच्छेदन खाली छैन (\( A \cap B \neq \emptyset \))।

Question 34

• The elements of sets \(M\) and \(N\) are shown in the Venn diagram alongside.
  1. Write all possible proper and improper subsets of sets \(M\) and \(N\).[1]
  2. Are the subsets of the given sets \(M\) and \(N\) equal in number?[1]
  3. Which member of set \(M\) must be removed to make \(M\) and \(N\) disjoint sets?[1]
  1. From the Venn diagram:
     \( M = \{a, b, c\} \)
     \( N = \{b, d, f\} \)
     
     Subsets of \( M \):
     Proper Subsets: \(\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}\)
     Improper Subset: \(\{a, b, c\}\)
     
     Subsets of \( N \):
     Proper Subsets: \(\emptyset, \{b\}, \{d\}, \{f\}, \{b, d\}, \{b, f\}, \{d, f\}\)
     Improper Subset: \(\{b, d, f\}\)
  2. Yes, the number of subsets of sets \( M \) and \( N \) are equal.
     Since both sets contain 3 elements, each set has \( 2^3 = 8 \) total subsets.
  3. To make \( M \) and \( N \) disjoint, the common element \( b \) must be removed from set \( M \).
     Removing \( b \) from \( M \) leaves \( M = \{a, c\} \), resulting in \( M \cap N = \emptyset \).
• समूह \(M\) र \(N\) का सदस्यहरू छेउको भेन चित्रमा देखाइएको छ ।
  1. समूह \(M\) र \(N\) का सबै सम्भावित उचित (proper) र अनुचित (improper) उपसमूहहरू लेख्नुहोस् ।[1]
  2. दिइएका समूह \(M\) र \(N\) का उपसमूहहरूको संख्या बराबर छ वा छैन, लेख्नुहोस् ।[1]
  3. समूह \(M\) को कुन सदस्य हटाउँदा समूहहरू \(M\) र \(N\) अलगिएका समूह बन्छन् ?[1]
  1. भेनचित्रबाट:
     \( M = \{a, b, c\} \)
     \( N = \{b, d, f\} \)
     
     समूह \( M \) का उपसमूहहरू:
     उपयुक्त उपसमूहहरू: \(\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}\)
     अनुपयुक्त उपसमूह: \(\{a, b, c\}\)
     
     समूह \( N \) का उपसमूहहरू:
     उपयुक्त उपसमूहहरू: \(\emptyset, \{b\}, \{d\}, \{f\}, \{b, d\}, \{b, f\}, \{d, f\}\)
     अनुपयुक्त उपसमूह: \(\{b, d, f\}\)
  2. हो, समूह \( M \) र \( N \) का उपसमूहहरूको सङ्ख्या बराबर छ।
     किनभने दुवै समूहहरूमा ३ वटा सदस्यहरू छन्, प्रत्येक समूहको जम्मा \( 2^3 = 8 \) वटा उपसमूहहरू हुन्छन्।
  3. समूह \( M \) र \( N \) लाई अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) बनाउनको लागि, साझा सदस्य \( b \) लाई समूह \( M \) बाट हटाउनुपर्छ।
     समूह \( M \) बाट \( b \) हटाउँदा \( M = \{a, c\} \) बाँकी रहन्छ, जसले गर्दा \( M \cap N = \emptyset \) हुन्छ।

  Question 35

• Given:
  \(P = \{\text{Prime numbers less than } 10\}\)
  \(Q = \{\text{Odd numbers less than } 8\}\)
  \(R = \{\text{Prime factors of } 6\}\)
  \(S = \{\text{Cube numbers between } 10 \text{ and } 20\}\)
1. Which of the four sets are equivalent sets?[1]
2. Write the subsets of set \(R\).[1]
3. Is the set \(S\) a proper subset of set \(P\)? Write with reason.[1]
1. First, let's list the elements and find the cardinal numbers:
   \( P = \{2, 3, 5, 7\} \), so \( n(P) = 4 \)
   \( Q = \{1, 3, 5, 7\} \), so \( n(Q) = 4 \)
   \( R = \{2, 3\} \), so \( n(R) = 2 \)
   \( S = \{ \} \) or \( \emptyset \), so \( n(S) = 0 \) (Since \( 2^3=8 \) and \( 3^3=27 \))
   
   Equivalent sets have the same number of elements. Therefore, sets \( P \) and \( Q \) are equivalent.
2. Set \( R = \{2, 3\} \). Its subsets are:
   \( \emptyset, \{2\}, \{3\}, \{2, 3\} \)
3. Yes, set \( S \) is a proper subset of set \( P \).
   Reason: Set \( S \) is an empty set (\( \emptyset \)), and the empty set is a proper subset of every non-empty set. Since all elements of \( S \) (which are none) are in \( P \), and \( S \neq P \), it is a proper subset (\( S \subset P \)).
li>दिइएको छ:
\(P = \{10 \text{ भन्दा साना रूढ संख्याहरू}\}\)
\(Q = \{8 \text{ भन्दा साना विजोर संख्याहरू}\}\)
\(R = \{6 \text{ का रूढ गुणनखण्डहरू}\}\)
\(S = \{10 \text{ र } 20 \text{ बीचका पूर्ण घन संख्याहरू}\}\)
1. माथिका चार समूहहरूमध्ये कुन-कुन समूहहरू समतुल्य (equivalent) समूह हुन्?[1]
2. समूह \(R\) का उपसमूहहरू लेख्नुहोस् ।[1]
3. समूह \(P\) को उचित उपसमूह समूह \(S\) हो वा होइन? कारणसहित लेख्नुहोस् ।[1]
1. पहिले, सदस्यहरूको सूची बनाऔँ र तिनीहरूको गणनात्मक सङ्ख्या (cardinal numbers) पत्ता लगाऔँ:
   \( P = \{2, 3, 5, 7\} \), त्यसैले \( n(P) = 4 \)
   \( Q = \{1, 3, 5, 7\} \), त्यसैले \( n(Q) = 4 \)
   \( R = \{2, 3\} \), त्यसैले \( n(R) = 2 \)
   \( S = \{ \} \) वा \( \emptyset \), त्यसैले \( n(S) = 0 \) (किनभने \( 2^3=8 \) र \( 3^3=27 \) हो, १० र २० को बीचमा कुनै पूर्ण घन सङ्ख्या छैन)
   
   समतुल्य समूहहरू (Equivalent sets) मा सदस्यहरूको सङ्ख्या बराबर हुन्छ। त्यसैले, समूह \( P \) र \( Q \) समतुल्य समूहहरू हुन्।
2. समूह \( R = \{2, 3\} \) का उपसमूहहरू (subsets) निम्नानुसार छन्:
   \( \emptyset, \{2\}, \{3\}, \{2, 3\} \)
3. हो, समूह \( S \), समूह \( P \) को एउटा उपयुक्त उपसमूह (proper subset) हो।
   कारण: समूह \( S \) एउटा खाली समूह (\( \emptyset \)) हो, र खाली समूह प्रत्येक गैर-खाली समूहको उपयुक्त उपसमूह हुन्छ। समूह \( S \) का सबै सदस्यहरू समूह \( P \) मा पर्दछन् तर \( S \) र \( P \) बराबर छैनन् (\( S \subset P \))।

Question 36

• Given a Venn diagram.
  1. Define proper subset.[1]
  2. Write the improper subset of \( L \).[1]
  3. If \( a, e, i, o, u \) are the members of set \( M \) only, then what type of set are \( L \) and \( M \)? Write with reason.[1]
  1. A proper subset of a set is a subset that contains some, but not all, elements of the original set. Specifically, set \( A \) is a proper subset of set \( B \) if every element of \( A \) is in \( B \), and \( A \neq B \).
  2. From the Venn diagram, set \( L = \{a, b, c\} \).
     The improper subset of \( L \) is the set itself:
     \( \{a, b, c\} \)
  3. If \( a, e, i, o, u \) belong only to set \( M \), then \( L = \{b, c\} \) and \( M = \{a, e, i, o, u\} \). In this case, \( L \) and \( M \) would be disjoint sets because they would have no elements in common (\( L \cap M = \emptyset \)).
• एउटा भेन चित्र दिइएको छ ।
1. उचित उपसमूह (proper subset) भन्नाले के बुझिन्छ ?[1]
2. समूह \( L \) को अनुचित उपसमूह (improper subset) लेख्नुहोस् ।[1]
3. यदि सदस्यहरू \( a, e, i, o, u \) समूह \( M \) का मात्र सदस्य हुन् भने, समूह \( L \) र \( M \) कस्ता प्रकारका समूह हुन्? कारणसहित लेख्नुहोस् ।[1]
1. उपयुक्त उपसमूह (Proper subset) भन्नाले यस्तो उपसमूहलाई बुझिन्छ जसमा मूल समूहका केही सदस्यहरू हुन्छन् तर सबै सदस्यहरू हुँदैनन्। स्पष्ट रूपमा भन्नुपर्दा, यदि समूह \( A \) का सबै सदस्यहरू समूह \( B \) मा छन् र समूह \( A \) र \( B \) बराबर छैनन् (\( A \neq B \)) भने, \( A \) लाई \( B \) को उपयुक्त उपसमूह भनिन्छ।
2. भेनचित्र अनुसार, समूह \( L = \{a, b, c\} \) छ।
   समूह \( L \) को अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) सो समूह आफैँ हो:
   \( \{a, b, c\} \)
3. यदि \( a, e, i, o, u \) समूह \( M \) का मात्र सदस्यहरू हुन् भने, \( L = \{b, c\} \) र \( M = \{a, e, i, o, u\} \) हुन्छन्। यस्तो अवस्थामा, \( L \) र \( M \) अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) हुन्छन् किनभने तिनीहरूका बीचमा कुनै पनि साझा सदस्यहरू हुँदैनन् (\( L \cap M = \emptyset \))।

Question 37

• Look at the adjoining Venn diagram and answer the following questions:
1. Identify whether the sets \( A \) and \( B \) are disjoint or overlapping.[1]
2. Prepare the list of the proper subsets of set \( B \).[1]
3. What adjustments are needed to ensure the given sets are disjoint?[1]
1. From the Venn diagram, sets \( A \) and \( B \) share common elements \( \{4, 5\} \).
   Therefore, \( A \) and \( B \) are overlapping sets.
2. From the diagram, set \( B = \{4, 5, 6, 7\} \).
   Proper subsets include all possible subsets except the set itself (\( \{4, 5, 6, 7\} \)):
   

   Number of Elements	Proper Subsets	Count
   0	∅	1
   1	{4}, {5}, {6}, {7}	4
   2	{4, 5}, {4, 6}, {4, 7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}	6
   3	{4, 5, 6}, {4, 5, 7}, {4, 6, 7}, {5, 6, 7}	4
   Total Proper Subsets		15

3. To make sets \( A \) and \( B \) disjoint, the common elements 4 and 5 must be removed from the intersection so that \( A \cap B = \emptyset \).
• संगैको भेन चित्रलाई हेरी तलका प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस्:
1. समूह \( A \) र \( B \) अलगिएका समूह हुन् कि खप्टिएका, पहिचान गर्नुहोस् ।[1]
2. समूह \( B \) का उचित उप-समूहहरूको सूची तयार गर्नुहोस् ।[1]
3. दिइएका समूहहरूलाई अलगिएका समूह बनाउन के कस्तो समायोजन आवश्यक छ?[1]
1. भेनचित्रबाट, समूह \( A \) र \( B \) मा साझा सदस्यहरू \( \{4, 5\} \) छन्।
   त्यसैले, \( A \) र \( B \) खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
2. चित्र अनुसार, समूह \( B = \{4, 5, 6, 7\} \) छ।
   उपयुक्त उपसमूहहरूमा सो समूह आफैँ (\( \{4, 5, 6, 7\} \)) बाहेक अरू सबै सम्भावित उपसमूहहरू पर्दछन्:
   

   सदस्यहरूको सङ्ख्या	उपयुक्त उपसमूहहरू	सङ्ख्या
   ०	∅	१
   १	{4}, {5}, {6}, {7}	४
   २	{4, 5}, {4, 6}, {4, 7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}	६
   ३	{4, 5, 6}, {4, 5, 7}, {4, 6, 7}, {5, 6, 7}	४
   जम्मा उपयुक्त उपसमूहहरू		१५

3. समूह \( A \) र \( B \) लाई अलगिएका समूहहरू बनाउनका लागि, साझा सदस्यहरू ४ र ५ लाई प्रतिच्छेदन (intersection) बाट हटाउनुपर्छ ताकि \( A \cap B = \emptyset \) होस्।

Question 38

• Look at the adjoining Venn diagram and answer the following questions:
1. Identify whether the sets \( A \) and \( B \) are disjoint or overlapping.[1]
2. Prepare the list of the proper subsets of set \( A \).[1]
3. What adjustments are needed to ensure the given sets are overlapping?[1]
1. From the Venn diagram, the circles for sets \( A \) and \( B \) do not meet and there are no common elements.
   Therefore, \( A \) and \( B \) are disjoint sets.
2. From the diagram, set \( A = \{x, y, z\} \). The proper subsets (excluding the set itself) are:
   

   Number of Elements	Proper Subsets	Count
   0	∅	1
   1	{x}, {y}, {z}	3
   2	{x, y}, {x, z}, {y, z}	3
   Total Proper Subsets		7

3. To make them overlapping sets, at least one element must be made common to both sets so that \( A \cap B \neq \emptyset \).
• संगैको भेन चित्रलाई हेरी तलका प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस्:
1. समूह \( A \) र \( B \) अलगिएका समूह हुन् कि खप्टिएका, पहिचान गर्नुहोस् ।[1]
2. समूह \( A \) का उचित उप-समूहहरूको सूची तयार गर्नुहोस् ।[1]
3. दिइएका समूहहरूलाई खप्टिएका समूह बनाउन के कस्तो समायोजन आवश्यक छ?[1]
1. भेनचित्रबाट, समूह \( A \) र \( B \) का वृत्तहरू आपसमा जोडिएका छैनन् र तिनीहरूमा कुनै साझा सदस्यहरू छैनन्।
   त्यसैले, \( A \) र \( B \) अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) हुन्।
2. चित्र अनुसार, समूह \( A = \{x, y, z\} \) छ। यसका उपयुक्त उपसमूहहरू (सो समूह आफैँलाई बाहेक) निम्न हुन्:
   

   सदस्यहरूको सङ्ख्या	उपयुक्त उपसमूहहरू	सङ्ख्या
   ०	∅	१
   १	{x}, {y}, {z}	३
   २	{x, y}, {x, z}, {y, z}	३
   जम्मा उपयुक्त उपसमूहहरू		७

3. तिनीहरूलाई खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) बनाउनको लागि, कम्तिमा एउटा सदस्य दुवै समूहमा साझा हुनुपर्छ ताकि \( A \cap B \neq \emptyset \) होस्।

Question 39

• Study the Venn diagram given alongside and answer the following questions:
1. Identify whether the sets \( P \) and \( Q \) are disjoint or overlapping.[1]
2. What is the set of common elements in sets \( P \) and \( Q \)?[1]
3. Which elements from the set \( P \) need to be removed in order to make sets \( P \) and \( Q \) disjoint?[1]
1. From the Venn diagram, sets \( P \) and \( Q \) share the elements \( 6 \) and \( 7 \) in the overlapping region.
   Therefore, \( P \) and \( Q \) are overlapping sets.
2. The common elements of sets \( P \) and \( Q \) are found in the intersection region.
   \( P \cap Q = \{6, 7\} \)
3. To make sets \( P \) and \( Q \) disjoint, the common elements must be removed from the intersection. From set \( P \), the elements 6 and 7 need to be removed.
• संगैको भेन चित्रलाई हेरी तलका प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस्:
1. समूह \( P \) र \( Q \) अलगिएका छन् कि खप्टिएका छन्, पहिचान गर्नुहोस् ।[1]
2. समूह \( P \) र \( Q \) का साझा सदस्यहरूको समूह के हो?[1]
3. समूह \( P \) बाट कुन सदस्यहरू हटाउँदा समूह \( P \) र \( Q \) अलगिएका समूह हुन्छन्?[1]
1. भेनचित्रबाट, समूह \( P \) र \( Q \) ले साझा भागमा सदस्यहरू \( 6 \) र \( 7 \) ओगटेका छन्।
   त्यसैले, \( P \) र \( Q \) खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
2. समूह \( P \) र \( Q \) का साझा सदस्यहरू प्रतिच्छेदन भागमा भेटिन्छन्।
   \( P \cap Q = \{6, 7\} \)
3. समूह \( P \) र \( Q \) लाई अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) बनाउनको लागि, साझा सदस्यहरूलाई प्रतिच्छेदनबाट हटाउनुपर्छ। यसका लागि समूह \( P \) बाट सदस्यहरू ६ र ७ हटाउन आवश्यक छ।

Question 40

• Study the given Venn diagram and answer the following questions.
  1. List the elements of \( A \).(1)
  2. If there were no common members in \( A \) and \( B \), what types of sets would they be?(1)
  3. Write the improper subset of set \( B \).(1)
  1. From the Venn diagram, the elements of set \( A \) (all numbers inside circle A) are:
     \( A = \{1, 2, 3, 5, 7\} \)
  2. If there were no common members in \( A \) and \( B \), then they would be disjoint sets.
  3. From the diagram, set \( B = \{1, 5, 8, 9, 10\} \).
     The improper subset of set \( B \) is the set itself:
     \( \{1, 5, 8, 9, 10\} \)
• दिइएको भेन चित्र अध्ययन गर्नुहोस् र निम्न प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् ।
1. समूह \( A \) का सदस्यहरू सूचीकृत गर्नुहोस् ।(1)
2. यदि समूह \( A \) र \( B \) मा कुनै पनि साझा सदस्य नभएको भए, ती कस्ता प्रकारका समूह हुने थिए?(1)
3. समूह \( B \) को अनुचित उपसमूह (improper subset) लेख्नुहोस् ।(1)
1. भेनचित्रबाट, समूह \( A \) का सदस्यहरू (वृत्त A भित्रका सबै सङ्ख्याहरू) निम्न हुन्:
   \( A = \{1, 2, 3, 5, 7\} \)
2. यदि समूह \( A \) र \( B \) मा कुनै पनि साझा सदस्यहरू नभएको भए, तिनीहरू अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) हुने थिए।
3. चित्र अनुसार, समूह \( B = \{1, 5, 8, 9, 10\} \) छ।
   समूह \( B \) को अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) सो समूह आफैँ हो:
   \( \{1, 5, 8, 9, 10\} \)

Question 41

• Study the given Venn diagram and answer the following questions.
  1. List the elements of set A.(1)
  2. List the elements of the intersection of sets A and B i.e. \((A \cap B)\).(1)
  3. List the elements that are in set A but not in set B i.e. \((A - B)\).(1)
  1. From the Venn diagram, the elements of set \( A \) (everything inside circle A) are:
     \( A = \{2, 3, 5, 7, 9\} \)
  2. The intersection \( A \cap B \) contains elements common to both sets, located in the overlapping region:
     \( A \cap B = \{2\} \)
  3. The elements in \( A \) but not in \( B \) (the relative complement) are the numbers in the left moon-shaped part of circle A:
     \( A - B = \{3, 5, 7, 9\} \)
• दिएको भेन चित्र अध्ययन गर्नुहोस् र निम्नलिखित प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् ।
1. समूह A का सदस्यहरू लेख्नुहोस् ।(1)
2. समूह A र B को प्रतिच्छेदन \((A \cap B)\) का सदस्यहरू लेख्नुहोस् ।(1)
3. समूह A मा रहेका तर B मा नरहेका सदस्यहरू \((A - B)\) लेख्नुहोस् ।(1)
1. भेनचित्रबाट, समूह \( A \) का सदस्यहरू (वृत्त A भित्र पर्ने सबै सङ्ख्याहरू) निम्न हुन्:
   \( A = \{2, 3, 5, 7, 9\} \)
2. प्रतिच्छेदन (Intersection) \( A \cap B \) मा दुवै समूहका साझा सदस्यहरू पर्दछन्, जुन खप्टिएको भागमा रहेका छन्:
   \( A \cap B = \{2\} \)
3. समूह \( A \) मा भएका तर समूह \( B \) मा नभएका सदस्यहरू (relative complement) वृत्त A को बायाँपट्टिको चन्द्रमा आकारको भागमा रहेका सङ्ख्याहरू हुन्:
   \( A - B = \{3, 5, 7, 9\} \)

Question 42

• Look at the given Venn diagram and answer the following questions.
  1. What types of sets are Set \(A\) and Set \(B\)?(1)
  2. How many subsets can be formed from Set \(B\)?(1)
  3. If \(A\) and \(B\) are subsets of the universal set \(U\), write this in symbolic form.(1)
  1. From the Venn diagram, sets \( A \) and \( B \) share common elements \( \{e, f\} \).
     Therefore, \( A \) and \( B \) are overlapping sets.
  2. From the diagram, set \( B = \{b, e, f, g, h\} \), so it has \( n = 5 \) elements.
     The number of subsets of a set with \( n \) elements is \( 2^n \).
     Number of subsets of \( B = 2^5 = 32 \).
  3. Since both \( A \) and \( B \) are contained within the universal set \( U \), the symbolic form is:
     \( A \subseteq U \) and \( B \subseteq U \) (or \( A, B \subset U \)).
• दिएको भेनचित्र हेरी तल्ला प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् ।
1. समूह \(A\) र समूह \(B\) कस्ता प्रकारका समूहहरू हुन्?(1)
2. समूह \(B\) बाट कति ओटा उपसमूहहरू बन्छन्?(1)
3. यदि \(A\) र \(B\) सर्वव्यापक समूह \(U\) का उपसमूहहरू भए यसलाई सांकेतिक रूपमा लेख्नुहोस् ।(1)
1. भेनचित्रबाट, समूह \( A \) र \( B \) मा साझा सदस्यहरू \( \{e, f\} \) छन्।
   त्यसैले, \( A \) र \( B \) खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
2. चित्र अनुसार, समूह \( B = \{b, e, f, g, h\} \) छ, त्यसैले यसमा सदस्य सङ्ख्या \( n = 5 \) छ।
   \( n \) वटा सदस्य भएको समूहको उपसमूहहरूको सङ्ख्या निकाल्ने सूत्र \( 2^n \) हो।
   समूह \( B \) का उपसमूहहरूको सङ्ख्या = \( 2^5 = 32 \)।
3. किनभने समूह \( A \) र \( B \) दुवै सर्वव्यापक समूह (universal set) \( U \) भित्र पर्दछन्, यसलाई सांकेतिक रूपमा यसरी लेखिन्छ:
   \( A \subseteq U \) र \( B \subseteq U \) (वा \( A, B \subset U \))।

Question 43

• From the given Venn diagram answer the following questions.
  1. What is a proper subset?(1)
  2. Write the number of elements of \( P \).(1)
  3. Make all subsets of set \( Q \).(1)
  1. A proper subset of a set is a subset that contains some but not all elements of the original set. In other words, set \( A \) is a proper subset of set \( B \) if every element of \( A \) is in \( B \), and \( A \neq B \).
     Symbolically, it is written as \( A \subset B \).
  2. Looking at the Venn diagram, set \( Q \) is completely inside set \( P \). Therefore, set \( P \) contains all the elements inside both circles.
     Elements of \( P = \{a, b, c, d, e\} \)
     Number of elements \( n(P) = 5 \)
  3. From the diagram, set \( Q = \{c, d\} \).
     All subsets of \( Q \) are:
     \( \emptyset, \{c\}, \{d\}, \{c, d\} \)
• दिएको भेनचित्रबाट सोधिएका प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् ।
1. उपयुक्त उपसमूह (proper subset) भनेको के हो ?(1)
2. \( P \) का सदस्य सङ्ख्या लेख्नुहोस् ।(1)
3. \( Q \) बाट बन्ने सबै उपसमूहहरू बनाउनुहोस् ।(1)
1. उपयुक्त उपसमूह (Proper subset) भन्नाले यस्तो उपसमूहलाई बुझिन्छ जसमा मूल समूहका केही सदस्यहरू हुन्छन् तर सबै सदस्यहरू हुँदैनन्। अर्को शब्दमा, यदि समूह \( A \) का प्रत्येक सदस्यहरू समूह \( B \) मा छन् र समूह \( A \) र \( B \) बराबर छैनन् भने, \( A \) लाई \( B \) को उपयुक्त उपसमूह भनिन्छ।
   यसलाई सांकेतिक रूपमा \( A \subset B \) लेखिन्छ।
2. भेनचित्र हेर्दा, समूह \( Q \) पूर्ण रूपमा समूह \( P \) भित्र रहेको देखिन्छ। त्यसैले, समूह \( P \) मा दुवै वृत्त भित्रका सबै सदस्यहरू पर्दछन्।
   समूह \( P \) का सदस्यहरू = \( \{a, b, c, d, e\} \)
   सदस्य सङ्ख्या \( n(P) = 5 \)
3. चित्र अनुसार, समूह \( Q = \{c, d\} \) छ।
   समूह \( Q \) का सबै उपसमूहहरू (subsets) निम्नानुसार छन्:
   \( \emptyset, \{c\}, \{d\}, \{c, d\} \)

Question 44

• From the given Venn diagram answer the following questions.
  1. Write the elements of set A.(1)
  2. Write the relation between A and B in symbol.(1)
  3. Write elements which are not in B.(1)
  1. From the Venn diagram, set \( A \) contains all elements inside its boundary, including those in set \( B \):
     \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
  2. Since set \( B \) is entirely contained within set \( A \), the relation is that \( B \) is a subset of \( A \):
     \( B \subset A \)
  3. The elements not in set \( B \) are the elements in \( A \) only, plus the elements in the universal set \( U \) that are outside both circles:
     Elements of \( \overline{B} = \{1, 2, 5, 6, 7, 8\} \)
• दिएको भेनचित्रबाट सोधिएका प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् ।
1. समूह A का सदस्यहरू लेख्नुहोस् ।(1)
2. \( A \) र \( B \) को सम्बन्ध संकेतमा लेख्नुहोस् ।(1)
3. \( B \) मा नभएका सदस्यहरू लेख्नुहोस् ।(1)
1. भेनचित्रबाट, समूह \( A \) का सदस्यहरूमा यसको घेरा भित्र रहेका सबै सदस्यहरू पर्दछन् (समूह \( B \) भित्रका सदस्यहरू सहित):
   \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
2. किनभने समूह \( B \) पूर्ण रूपमा समूह \( A \) भित्र रहेको छ, यिनीहरू बीचको सम्बन्धलाई निम्नअनुसार लेखिन्छ:
   \( B \subset A \) (जसको अर्थ \( B \), समूह \( A \) को उपसमूह हो)।
3. समूह \( B \) मा नपर्ने सदस्यहरू भन्नाले समूह \( A \) मा मात्र भएका सदस्यहरू र सर्वव्यापक समूह \( U \) मा भएका तर दुवै समूह बाहिर रहेका सदस्यहरूलाई बुझिन्छ:
   \( \overline{B} \) का सदस्यहरू = \( \{1, 2, 5, 6, 7, 8\} \)

Question 45

• From the given Venn diagram answer the following questions.
  1. Write the cardinality of set A.(1)
  2. What is a subset? Write.(1)
  3. Write all subsets of A containing 2 elements.(1)
  1. From the Venn diagram, set \( A \) contains all elements inside its boundary (including the elements of subset \( B \)).
     \( A = \{q, r, s, t\} \)
     The cardinality is the number of elements: \( n(A) = 4 \).
  2. A subset is a set where every element of that set is also an element of another set. If all elements of set \( X \) are contained in set \( Y \), then \( X \) is a subset of \( Y \), written as \( X \subseteq Y \).
  3. Set \( A = \{q, r, s, t\} \). The subsets containing exactly 2 elements are:
     {q, r}, {q, s}, {q, t}, {r, s}, {r, t}, {s, t}
• दिएको भेनचित्रबाट सोधिएका प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् ।
1. समूह A को सदस्य सङ्ख्या (cardinality) लेख्नुहोस् ।(1)
2. उपसमूह (subset) भनेको के हो? लेख्नुहोस् ।(1)
3. समूह \( A \) बाट बन्ने २ सदस्य हुने सबै उपसमूहहरू लेख्नुहोस् ।(1)
1. भेनचित्रबाट, समूह \( A \) मा यसको घेरा भित्र रहेका सबै सदस्यहरू पर्दछन् (उपसमूह \( B \) का सदस्यहरू सहित)।
   \( A = \{q, r, s, t\} \)
   गणना्यात्मक सङ्ख्या (cardinality) भनेको सदस्यहरूको जम्मा सङ्ख्या हो: \( n(A) = 4 \)।
2. उपसमूह (Subset) भनेको यस्तो समूह हो जसका प्रत्येक सदस्यहरू अर्को कुनै समूहका पनि सदस्य हुन्छन्। यदि समूह \( X \) का सबै सदस्यहरू समूह \( Y \) मा समावेश छन् भने, \( X \) लाई \( Y \) को उपसमूह भनिन्छ र यसलाई \( X \subseteq Y \) लेखिन्छ।
3. समूह \( A = \{q, r, s, t\} \) का ठ्याक्कै २ वटा सदस्यहरू भएका उपसमूहहरू निम्न हुन्:
   {q, r}, {q, s}, {q, t}, {r, s}, {r, t}, {s, t}

Question 46

• From the given Venn diagram answer the following questions.
  1. Which type of sets are shown in the Venn diagram?(1)
  2. Write the number of elements of \( A \).(1)
  3. Make one subset of set \( B \).(1)
  1. From the Venn diagram, sets \( A \) and \( B \) have no common elements and the circles do not overlap.
     Therefore, \( A \) and \( B \) are disjoint sets.
  2. From the Venn diagram, set \( A = \{1, 2, 3\} \).
     The number of elements (cardinality) of \( A \) is 3.
  3. From the diagram, set \( B = \{5, 7, 9\} \).
     One possible subset of \( B \) is:
     {5, 7} (Other options: \(\emptyset, \{5\}, \{7\}, \{9\}, \{5, 9\}, \{7, 9\}, \{5, 7, 9\}\)).
• दिएको भेनचित्रबाट सोधिएका प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् ।
1. भेनचित्रमा कुन प्रकारका समूहहरू छन् ?(1)
2. \( A \) का सदस्य सङ्ख्या लेख्नुहोस् ।(1)
3. \( B \) बाट बन्ने कुनै एक उपसमूह लेख्नुहोस् ।(1)
1. भेनचित्रबाट, समूह \( A \) र \( B \) बीच कुनै पनि साझा सदस्यहरू छैनन् र वृत्तहरू आपसमा खप्टिएका छैनन्।
   त्यसैले, \( A \) र \( B \) अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) हुन्।
2. भेनचित्र अनुसार, समूह \( A = \{1, 2, 3\} \) छ।
   समूह \( A \) को गणनात्मक सङ्ख्या (cardinality) ३ हो।
3. चित्रबाट, समूह \( B = \{5, 7, 9\} \) छ।
   समूह \( B \) को एउटा सम्भावित उपसमूह (subset) निम्न हुन सक्छ:
   {5, 7} (अन्य विकल्पहरू: \(\emptyset, \{5\}, \{7\}, \{9\}, \{5, 9\}, \{7, 9\}, \{5, 7, 9\}\))।

Question 47

• Given the sets \(P = \{l, o, v, e\}\) and \(Q = \{h, a, t, e\}\).
1. What types of set \(P\) and set \(Q\) are—overlapping or disjoint? Write.[1]
2. Write any two proper subsets of set \(Q\).[1]
3. What member of set \(P\) needs to be removed to make set \(P\) and \(Q\) disjoint sets?[1]
1. Sets \( P = \{l, o, v, e\} \) and \( Q = \{h, a, t, e\} \) both contain the common element 'e'.
   Therefore, \( P \) and \( Q \) are overlapping sets.
2. Set \( Q = \{h, a, t, e\} \) has several proper subsets. Any two are:
   i. \( \{h, a\} \)
   ii. \( \{t\} \)
3. To make sets \( P \) and \( Q \) disjoint, they must have no elements in common. The common element is 'e'.
   Therefore, the member 'e' needs to be removed from set \( P \).
• समूहहरू \(P = \{l, o, v, e\}\) र \(Q = \{h, a, t, e\}\) दिइएको छ ।
1. समूह \(P\) र \(Q\) खप्टिएका वा अलगिएका कस्ता खालका समूह हुन् ? लेख्नुहोस् ।[1]
2. समूह \(Q\) का कुनै २ वटा उपयुक्त उपसमूहहरू लेख्नुहोस् ।[1]
3. \(P\) र \(Q\) लाई अलगिएका समूह बनाउन समूह \(P\) बाट कुन सदस्य हटाउनु पर्छ ?[1]
1. समूह \( P = \{l, o, v, e\} \) र \( Q = \{h, a, t, e\} \) दुवैमा साझा सदस्य 'e' रहेको छ।
   त्यसैले, \( P \) र \( Q \) खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
2. समूह \( Q = \{h, a, t, e\} \) का धेरै उपयुक्त उपसमूहहरू छन्। तीमध्ये कुनै दुईवटा निम्न हुन्:
   i. \( \{h, a\} \)
   ii. \( \{t\} \)
3. समूह \( P \) र \( Q \) लाई अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) बनाउनको लागि, तिनीहरू बीच कुनै पनि साझा सदस्य हुनुहुँदैन। यहाँ साझा सदस्य 'e' हो।
   त्यसैले, सदस्य 'e' लाई समूह \( P \) बाट हटाउन आवश्यक छ।

Question 48

• Answer the following questions on the basis of the Venn diagram alongside.
1. Write whether sets \(N\) and \(M\) are overlapping or disjoint?[1]
2. Write an improper subset of set \(N\).[1]
3. Which social media needs to be removed such that sets \(N\) and \(M\) are disjoint?[1]
1. From the Venn diagram, sets \( N \) and \( M \) share the common element "TT" in the overlapping region.
   Therefore, \( N \) and \( M \) are overlapping sets.
2. From the diagram, set \( N = \{F, TT\} \).
   The improper subset of set \( N \) is the set itself:
   {F, TT}
3. To make sets \( N \) and \( M \) disjoint, they must have no elements in common. The common element is "TT".
   Therefore, "TT" needs to be removed.
• दिइएको भेनचित्रको आधारमा तलका प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् ।
1. समूह \(N\) र \(M\) खप्टिएका वा अलगिएका कस्ता समूह हुन्? लेख्नुहोस् ।[1]
2. समूह \(N\) को एउटा अनुचित उपसमूह (improper subset) लेख्नुहोस् ।[1]
3. समूह \(N\) र \(M\) लाई अलगिएका बनाउन कुन सामाजिक सञ्जाल (social media) हटाउनुपर्छ?[1]
1. भेनचित्रबाट, समूह \( N \) र \( M \) को साझा भागमा सदस्य "TT" रहेको देखिन्छ।
   त्यसैले, \( N \) र \( M \) खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
2. चित्र अनुसार, समूह \( N = \{F, TT\} \) छ।
   समूह \( N \) को अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) सो समूह आफैँ हो:
   {F, TT}
3. समूह \( N \) र \( M \) लाई अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) बनाउनको लागि, तिनीहरू बीच कुनै पनि साझा सदस्य हुनुहुँदैन। यहाँ साझा सदस्य "TT"हो।
   त्यसैले, सदस्य "TT" लाई हटाउन आवश्यक छ।

Question 49

• Given universal set \( U = \{a, b, c, d, e\} \), two subsets are \( D = \{a, b, c\} \) and \( E = \{a, b, c, d, e\} \).
1. Between D and E, which one is the proper subset and which one is the improper subset of U? Write it.[1K]
2. How many subsets of set E can be formed? Write it.[1HA]
3. Show sets D and E in a Venn diagram and write what type of sets are D and E.[1U]
1. From the given sets:
   \( D = \{a, b, c\} \) is a proper subset of \( U \) because it contains some but not all elements of \( U \) (\( D \subset U \)).
   \( E = \{a, b, c, d, e\} \) is an improper subset of \( U \) because it contains all elements of \( U \) (\( E = U \)).
2. Set \( E \) has 5 elements (\( n = 5 \)).
   The number of subsets is calculated using the formula \( 2^n \).
   Number of subsets of \( E = 2^5 = 32 \).
3. Venn Diagram of D and E:
   
   
   Since all elements of \( D \) are in \( E \), \( D \) is a subset of \( E \) (\( D \subset E \)). In terms of their relation, they are subset sets.
• सर्वव्यापक समूह \( U = \{a, b, c, d, e\} \) का दुई उपसमूहहरू \( D = \{a, b, c\} \) र \( E = \{a, b, c, d, e\} \) छन् ।
1. D र E मध्ये कुन उपयुक्त र कुन अनुपयुक्त उपसमूह हुन्, लेख्नुहोस् ।[1K]
2. समूह E का कति ओटा उपसमूह बन्छन् ? लेख्नुहोस् ।[1HA]
3. समूहहरू D र E लाई भेनचित्रमा देखाउनुहोस् र यी दुई समूह कस्ता समूह हुन्, लेख्नुहोस् ।[1U]
1. दिइएका समूहहरूबाट:
   \( D = \{a, b, c\} \), \( U \) को एउटा उपयुक्त उपसमूह (proper subset) हो किनभने यसले \( U \) का केही सदस्यहरू मात्र ओगटेको छ तर सबै होइन (\( D \subset U \))।
   \( E = \{a, b, c, d, e\} \), \( U \) को एउटा अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) हो किनभने यसले \( U \) का सबै सदस्यहरू ओगटेको छ (\( E = U \))।
2. समूह \( E \) मा ५ वटा सदस्यहरू छन् (\( n = 5 \))।
   उपसमूहहरूको सङ्ख्या सूत्र \( 2^n \) प्रयोग गरेर गणना गरिन्छ।
   समूह \( E \) का उपसमूहहरूको सङ्ख्या = \( 2^5 = 32 \)।
3. D र E को भेनचित्र:
   
   
   किनभने \( D \) का सबै सदस्यहरू \( E \) मा पर्दछन्, त्यसैले \( D \), \( E \) को उपसमूह हो (\( D \subset E \))। तिनीहरूको सम्बन्धको आधारमा, यिनीहरू उपसमूह सम्बन्ध भएका समूहहरू हुन्।

Question 50

• A and B are subsets of the universal set \( U = \{x : x \text{ is a natural number less than } 20\} \). If \( A = \{\text{multiples of } 2\} \) and \( B = \{\text{prime numbers}\} \).
1. List the elements of sets A and B, then write whether these two sets are overlapping sets or disjoint sets.[1A]
2. Show the above sets in a Venn diagram.[1U]
3. Make four subsets of set A having four members.[1HA]
1. Listing elements:
   The universal set is \( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19\} \).
   \( A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18\} \)
   \( B = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\} \)
   Since they share the common element {2}, they are overlapping sets.
2. Venn Diagram:
   
3. Four subsets of A with four members:
   i. \( \{2, 4, 6, 8\} \)
   ii. \( \{10, 12, 14, 16\} \)
   iii. \( \{4, 8, 12, 16\} \)
   iv. \( \{6, 10, 14, 18\} \)
• A र B सर्वव्यापक समूह \( U = \{x : x \text{ एउटा 20 भन्दा सानो प्राकृतिक सङ्ख्या हुन्}\} \) का उपसमूहहरू हुन् । यदि \( A = \{2 \text{ का अपवर्त्यहरू}\} \) र \( B = \{\text{रूढ सङ्ख्याहरू}\} \) छन् ।
1. समूह A र B लाई सूचीकरण विधिमा लेख्नुहोस् र यी खण्डिएका वा अलगिएका कस्ता समूह हुन्, लेख्नुहोस् ।[1A]
2. माथिका समूहहरूलाई भेनचित्रमा देखाउनुहोस् ।[1U]
3. समूह A का कुनै चारओटा चार सदस्यिय उपसमूहहरू बनाउनुहोस् ।[1HA]
1. सदस्यहरूको सूचीकरण:
   यहाँ सर्वव्यापक समूह $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19\}$ छ।
   $A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18\}$
   $B = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}$
   यी दुवै समूहमा साझा सदस्य {2} भएकोले, यिनीहरू खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
2. भेनचित्र:
   
3. चारवटा सदस्य भएका समूह A का चारवटा उपसमूहहरू:
   i. $\{2, 4, 6, 8\}$
   ii. $\{10, 12, 14, 16\}$
   iii. $\{4, 8, 12, 16\}$
   iv. $\{6, 10, 14, 18\}$

Question 51

• \(P = \{2, 3, 4\}\) and \(Q = \{1, 2, 4\}\) are subsets of the universal set \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).
1. What type of sets are P and Q — overlapping or disjoint?[1K]
2. Write all subsets of set P with two members.[1A]
3. Show sets U, P and Q in a Venn diagram.[1U]
1. Type of Sets:
   Set \( P = \{2, 3, 4\} \) and Set \( Q = \{1, 2, 4\} \).
   Common elements between P and Q are 2 and 4.
   Since they have common elements, P and Q are overlapping sets.
2. Subsets of P with 2 members:
   Set \( P = \{2, 3, 4\} \). The subsets containing exactly two elements are:
   {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}
3. Venn Diagram:
   
• सर्वव्यापक समूह \( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) का उपसमूहहरू \( P = \{2, 3, 4\} \) र \( Q = \{1, 2, 4\} \) छन् ।
1. समूहहरू P र Q खण्डिएका वा अलगिएका कस्ता समूह हुन्? लेख्नुहोस् ।[1K]
2. समूह P का दुई सदस्यिय सबै उपसमूहहरू लेख्नुहोस् ।[1A]
3. समूहहरू U, P र Q लाई भेनचित्रमा देखाउनुहोस् ।[1U]
1. समूहको प्रकार:
   समूह \( P = \{2, 3, 4\} \) र समूह \( Q = \{1, 2, 4\} \)।
   P र Q बीचका साझा सदस्यहरू २ र ४ हुन्।
   किनभने यिनीहरूमा साझा सदस्यहरू छन्, त्यसैले P र Q खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
2. २ वटा सदस्य भएका P का उपसमूहहरू:
   समूह \( P = \{2, 3, 4\} \)। ठ्याक्कै दुईवटा सदस्य भएका उपसमूहहरू निम्न हुन्:
   {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}
3. भेनचित्र:
   

Question 52

• Study the given Venn diagram and answer the questions asked below.
1. List the elements of the universal set U.[1A]
2. What type of sets are M and N — overlapping or disjoint sets? Write with reason.[1A]
3. How many subsets of set M can be formed? Write it.[1HA]
1. The universal set \( U \) consists of every element shown within the rectangle:
   \( U = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30\} \)
2. Sets \( M \) and \( N \) are overlapping sets.
   Reason: They have common elements (intersection), which are {6, 12}.
3. First, find the elements of set \( M \): \( M = \{3, 6, 9, 12, 15\} \).
   The number of elements \( n(M) = 5 \).
   Number of subsets \(= 2^n = 2^5 = 32 \).
• दिइएको भेनचित्र अध्ययन गरी तल सोधिएका प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् ।
1. सर्वव्यापक समूह U लाई सूचीकरण विधिबाट लेख्नुहोस् ।[1A]
2. M र N अलगिएका वा खण्डिएका कस्ता समूह हुन्, कारणसहित लेख्नुहोस् ।[1A]
3. समूह M का कति ओटा उपसमूह बनाउन सकिन्छ? लेख्नुहोस् ।[1HA]
1. सर्वव्यापक समूह \( U \) मा आयतभित्र देखाइएका सबै सदस्यहरू पर्दछन्:
   \( U = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30\} \)
2. समूह \( M \) र \( N \) खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
   कारण: तिनीहरूका बीचमा साझा सदस्यहरू (intersection) छन्, जुन {6, 12} हुन्।
3. सुरुमा, समूह \( M \) का सदस्यहरू पत्ता लगाउनुहोस्: \( M = \{3, 6, 9, 12, 15\} \)।
   सदस्य सङ्ख्या \( n(M) = 5 \)।
   उपसमूहहरूको सङ्ख्या \(= 2^n = 2^5 = 32 \)।

Question 53

• Two subsets of the universal set \( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) are \( A = \{1, 3, 4, 5\} \) and \( B = \{2, 3, 5\} \).
1. Are sets A and B overlapping or disjoint sets? Write with reason.[1K]
2. Write all the subsets of set A having single element.[1A]
3. Show sets U, A and B in a Venn diagram.[1U]
1. Sets \( A = \{1, 3, 4, 5\} \) and \( B = \{2, 3, 5\} \) are overlapping sets.
   Reason: They have common elements (intersection), which are {3, 5}. Since the intersection is not empty, they are overlapping.
2. Set \( A = \{1, 3, 4, 5\} \). The single-element subsets (singleton subsets) are:
   {1}, {3}, {4}, {5}
3. Venn Diagram:
   
• सर्वव्यापक समूह \( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) का दुईओटा उपसमूहहरू \( A = \{1, 3, 4, 5\} \) र \( B = \{2, 3, 5\} \) छन् ।
1. समूह A र B खण्डिएका वा अलगिएका कस्ता समूह हुन्? कारणसहित लेख्नुहोस् ।[1K]
2. समूह A का एक सदस्यिय उपसमूहहरू लेख्नुहोस् ।[1A]
3. समूहहरू U, A र B लाई भेनचित्रमा देखाउनुहोस् ।[1U]
1. समूह \( A = \{1, 3, 4, 5\} \) र समूह \( B = \{2, 3, 5\} \) खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
   कारण: तिनीहरूका बीचमा साझा सदस्यहरू (intersection) छन्, जुन {3, 5} हुन्। प्रतिच्छेदन खाली नभएकोले यी समूहहरू खप्टिएका हुन्।
2. समूह \( A = \{1, 3, 4, 5\} \)। एउटा मात्र सदस्य भएका उपसमूहहरू (singleton subsets) निम्न हुन्:
   {1}, {3}, {4}, {5}
3. भेनचित्र:
   

Question 54

• Two subsets of the universal set \( U = \{a, e, i, o, u\} \) are \( R = \{a, i, o\} \) and \( S = \{i, o, u\} \).
1. What type of sets are R and S — overlapping or disjoint?[1K]
2. Show above sets in a Venn diagram.[1A]
3. Write any two subsets which are formed from both R and S.[1U]
1. Sets \( R = \{a, i, o\} \) and \( S = \{i, o, u\} \) share common elements i and o.
   Since the intersection is not empty (\( R \cap S = \{i, o\} \)), they are overlapping sets.
2. Venn Diagram:
   
3. The common elements of R and S are {i, o}. Subsets formed from these intersection elements are subsets of both R and S. Two such subsets are:
   i. {i}
   ii. {i, o}
• सर्वव्यापक समूह \( U = \{a, e, i, o, u\} \) का दुईओटा उपसमूहहरू \( R = \{a, i, o\} \) र \( S = \{i, o, u\} \) छन् ।
1. समूह R र S खण्डिएका वा अलगिएका कस्ता समूह हुन्? लेख्नुहोस् ।[1K]
2. माथिका समूहहरूलाई भेनचित्रमा देखाउनुहोस् ।[1A]
3. समूह R र S का कुनै दुईवटा साझा उपसमूहहरू लेख्नुहोस् ।[1U]
1. समूह \( R = \{a, i, o\} \) र समूह \( S = \{i, o, u\} \) मा साझा सदस्यहरू i र o छन्।
   किनभने यिनीहरूको प्रतिच्छेदन (intersection) खाली छैन (\( R \cap S = \{i, o\} \)), त्यसैले यी खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
2. भेनचित्र:
   
3. R र S का साझा सदस्यहरू {i, o} हुन्। यी साझा सदस्यहरूबाट बनेका उपसमूहहरू R र S दुवैका उपसमूहहरू हुन्छन्। त्यस्ता कुनै दुईवटा उपसमूहहरू निम्न हुन्:
   i. {i}
   ii. {i, o}

Question 55

• The subsets of the universal set \( U = \{x : x \text{ is a natural number less than } 8\} \) are \( F = \{1, 2, 3\} \) and \( G = \{2, 3, 5\} \).
1. Write the universal set U in a listing method. Also write with reason that what type of sets F and G are — disjoint or overlapping sets.[1A]
2. How many subsets of set F and G can be made?[1HA]
3. What is the improper subset of a set?[1K]
1. Listing elements:
   Natural numbers less than 8 are: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
   Therefore, \( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \)
   Sets \( F = \{1, 2, 3\} \) and \( G = \{2, 3, 5\} \) share the common elements {2, 3}.
   Reason: Since they have at least one common element (\( F \cap G \neq \emptyset \)), they are overlapping sets.
2. Number of subsets:
   The number of subsets is calculated using the formula \( 2^n \), where \( n \) is the number of elements.
   For set \( F \): \( n = 3 \), so subsets \(= 2^3 = 8 \).
   For set \( G \): \( n = 3 \), so subsets \(= 2^3 = 8 \).
3. Improper Subset:
   An improper subset of a set is a subset that contains every element of the original set (the set itself).
   Example: The improper subset of \( \{1, 2, 3\} \) is {1, 2, 3}.
• सर्वव्यापक समूह \( U = \{x : x \text{ एउटा 8 भन्दा सानो प्राकृतिक सङ्ख्या हो}\} \) का उपसमूहहरू \( F = \{1, 2, 3\} \) र \( G = \{2, 3, 5\} \) छन् ।
1. सर्वव्यापक समूह U लाई सूचीकरण विधिबाट लेख्नुहोस् र समूहहरू F र G कस्ता समूह हुन्, कारणसहित लेख्नुहोस् ।[1A]
2. समूहहरू F र G का कति ओटा उपसमूह बनाउन सकिन्छ? लेख्नुहोस् ।[1HA]
3. कुनै समूहको अनुपयुक्त उपसमूह (Improper subset) भनेको कस्तो समूह हो ?[1K]
1. सदस्यहरूको सूचीकरण:
   ८ भन्दा साना प्राकृतिक सङ्ख्याहरू: १, २, ३, ४, ५, ६, ७ हुन्।
   त्यसैले, \( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \)
   समूह \( F = \{1, 2, 3\} \) र समूह \( G = \{2, 3, 5\} \) मा साझा सदस्यहरू {२, ३} छन्।
   कारण: किनभने तिनीहरूका बीचमा कम्तिमा एउटा साझा सदस्य छ (\( F \cap G \neq \emptyset \)), त्यसैले यी खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
2. उपसमूहहरूको सङ्ख्या:
   उपसमूहहरूको सङ्ख्या निकाल्न सूत्र \( 2^n \) प्रयोग गरिन्छ, जहाँ \( n \) सदस्यहरूको सङ्ख्या हो।
   समूह \( F \) को लागि: \( n = 3 \), त्यसैले उपसमूहहरू \(= 2^3 = ८ \)।
   समूह \( G \) को लागि: \( n = 3 \), त्यसैले उपसमूहहरू \(= 2^3 = ८ \)।
3. अनुपयुक्त उपसमूह (Improper Subset):
   कुनै समूहको अनुपयुक्त उपसमूह भन्नाले यस्तो उपसमूहलाई बुझिन्छ जसमा मूल समूहका सबै सदस्यहरू समावेश हुन्छन् (अर्थात् सो समूह आफैँ)।
   उदाहरण: \( \{1, 2, 3\} \) को अनुपयुक्त उपसमूह {१, २, ३} हो।

Question 56

• A and B are the subsets of the universal set U. If \( U = \{x : x \text{ is a whole number less than } 10\} \), \( A = \{y : y \text{ is an odd number less than } 10\} \) and \( B = \{z : z \text{ is a prime number less than } 10\} \).
1. List the elements of the above sets.[1A]
2. What type of sets are A and B — overlapping or disjoint? Write it.[1K]
3. Write the subsets of set B with two elements.[1HA]
1. Listing elements:
   Whole numbers start from 0: \( U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \)
   Odd numbers: \( A = \{1, 3, 5, 7, 9\} \)
   Prime numbers: \( B = \{2, 3, 5, 7\} \)
2. Type of sets:
   Sets \( A \) and \( B \) share common elements: {3, 5, 7}.
   Since they have common members, \( A \) and \( B \) are overlapping sets.
3. Subsets of B with two elements:
   Set \( B = \{2, 3, 5, 7\} \). Possible two-element subsets are:
   {2, 3}, {2, 5}, {2, 7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}
• A र B सर्वव्यापक समूह U का उपसमूहहरू हुन् । यदि \( U = \{x : x \text{ एउटा 10 भन्दा सानो पूर्ण सङ्ख्या हो}\} \), \( A = \{y : y \text{ एउटा 10 भन्दा सानो विषम सङ्ख्या हो}\} \) र \( B = \{z : z \text{ एउटा 10 भन्दा सानो रूढ सङ्ख्या हो}\} \) छन् ।
1. माथिका समूहहरूलाई सूचीकरण विधिमा लेख्नुहोस् ।[1A]
2. समूह A र B खप्टिएका वा अलगिएका कस्ता समूह हुन्, लेख्नुहोस् ।[1K]
3. समूह B का दुई सदस्यिय उपसमूहहरू लेख्नुहोस् ।[1HA]
1. सदस्यहरूको सूचीकरण:
   पूर्ण सङ्ख्याहरू (Whole numbers) ० बाट सुरु हुन्छन्: \( U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \)
   बिजोर सङ्ख्याहरू: \( A = \{1, 3, 5, 7, 9\} \)
   रूढ सङ्ख्याहरू: \( B = \{2, 3, 5, 7\} \)
2. समूहको प्रकार:
   समूह \( A \) र \( B \) मा साझा सदस्यहरू {३, ५, ७} छन्।
   किनभने यिनीहरूमा साझा सदस्यहरू छन्, त्यसैले \( A \) र \( B \) खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
3. दुईवटा सदस्य भएका समूह B का उपसमूहहरू:
   समूह \( B = \{2, 3, 5, 7\} \) का दुईवटा सदस्य भएका सम्भावित उपसमूहहरू निम्न हुन्:
   {2, 3}, {2, 5}, {2, 7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}

Question 57

• A Venn diagram is given below.
1. Define improper subset.[1K]
2. Write proper subsets of set B with two members.[1U]
3. Sets A and B are overlapping sets. Justify it.[1HA]
1. Definition: An improper subset is a subset that contains every element of the original set. In other words, every set is an improper subset of itself.
2. From the diagram, Set \( B = \{9, 10, 12\} \). The proper subsets with two members are:
   {9, 10}, {9, 12}, and {10, 12}
3. Justification: Sets A and B are overlapping sets because they have at least one common element. As seen in the Venn diagram, the element 9 lies in the intersection of both circles (\( A \cap B = \{9\} \)).
• एउटा भेनचित्र दिइएको छ ।
1. अनुपयुक्त उपसमूह (Improper subset) लाई परिभाषित गर्नुहोस् ।[1K]
2. समूह B का २ सदस्यीय उपयुक्त उपसमूहहरू लेख्नुहोस् ।[1U]
3. समूहहरू A र B खण्डिएका (overlapping) समूहहरू हुन् । समर्थन गर्नुहोस् ।[1HA]
1. परिभाषा: अनुपयुक्त उपसमूह (Improper subset) भन्नाले यस्तो उपसमूहलाई बुझिन्छ जसमा मूल समूहका सबै सदस्यहरू समावेश हुन्छन्। अर्को शब्दमा, प्रत्येक समूह आफैँमा एउटा अनुपयुक्त उपसमूह हो।
2. भेनचित्र अनुसार, समूह \( B = \{9, 10, 12\} \) छ। दुईवटा सदस्य भएका उपयुक्त उपसमूहहरू निम्न हुन्:
   {9, 10}, {9, 12}, र {10, 12}
3. पुष्टि: समूह A र B खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन् किनभने तिनीहरूका बीचमा कम्तिमा एउटा साझा सदस्य छ। भेनचित्रमा देखिए अनुसार, सदस्य ९ दुवै वृत्तको साझा भागमा पर्दछ (\( A \cap B = \{9\} \))।

Question 58

• \( P = \{a, r, e\} \) and \( Q = \{a, r, t\} \) are subsets of the universal set \( U = \{a, r, t, e, s\} \).
1. Define proper subset.[1K]
2. What is the set which is a subset of every set?[1U]
3. If set \( P = \{e, s\} \), what will be the relation between set P and Q? Write with reason.[1HA]
1. Proper Subset: A proper subset of a set is a subset that contains some, but not all, elements of the original set. If \( A \) is a proper subset of \( B \), then \( A \subset B \) and \( A \neq B \).
   For example, \( \{a, r\} \) is a proper subset of \( \{a, r, e\} \).
2. The empty set (or null set), denoted by \( \emptyset \) or \( \{ \} \), is a subset of every set.
3. If \( P = \{e, s\} \) and \( Q = \{a, r, t\} \), the relation between them is that they are disjoint sets.
   Reason: Because there are no common elements between them (\( P \cap Q = \emptyset \)).
• \( P = \{a, r, e\} \) र \( Q = \{a, r, t\} \) सर्वव्यापक समूह \( U = \{a, r, t, e, s\} \) का उपसमूहहरू हुन् ।
1. उपयुक्त उपसमूह (Proper subset) लाई परिभाषित गर्नुहोस् ।[1K]
2. कुन समूह सबै समूहहरूको उपसमूह हो ?[1U]
3. यदि समूह \( P = \{e, s\} \) भएको भए, समूहहरू P र Q बीचको सम्बन्ध कस्तो हुन्थ्यो ? कारणसहित लेख्नुहोस् ।[1HA]
1. उपयुक्त उपसमूह (Proper Subset): कुनै समूहको उपयुक्त उपसमूह भन्नाले यस्तो उपसमूहलाई बुझिन्छ जसमा मूल समूहका केही सदस्यहरू हुन्छन्, तर सबै सदस्यहरू हुँदैनन्। यदि समूह \( A \), समूह \( B \) को उपयुक्त उपसमूह हो भने, \( A \subset B \) र \( A \neq B \) हुन्छ।
   उदाहरणका लागि, \( \{a, r, e\} \) को उपयुक्त उपसमूह \( \{a, r\} \) हो।
2. खाली समूह (Empty set), जसलाई \( \emptyset \) वा \( \{ \} \) ले जनाइन्छ, प्रत्येक समूहको उपसमूह हुन्छ।
3. यदि \( P = \{e, s\} \) र \( Q = \{a, r, t\} \) भए, तिनीहरू बीचको सम्बन्ध अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) को हो।
   कारण: किनभने तिनीहरूका बीचमा कुनै पनि साझा सदस्यहरू छैनन् (\( P \cap Q = \emptyset \))।

Question 59

• Two subsets of the universal set \( U = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) are \( D = \{1, 2, 3\} \) and \( E = \{3, 4, 5\} \).
1. Define overlapping sets.[1K]
2. Are D and E overlapping or disjoint sets? Write with reason.[1U]
3. Which element of set D and set E should be removed to make them disjoint sets?[1HA]
1. Overlapping Sets: Overlapping sets are sets that have at least one common element. If two sets \( A \) and \( B \) are overlapping, their intersection is not empty (\( A \cap B \neq \emptyset \)).
2. Type of Sets: Sets D and E are overlapping sets.
   Reason: They share a common element, which is 3 (\( D \cap E = \{3\} \)).
3. Making them Disjoint: To make them disjoint sets, the common element 3 should be removed from either set D or set E.
   If 3 is removed, \( D \cap E \) will become an empty set (\( \emptyset \)), making them disjoint.
• सर्वव्यापक समूह \( U = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) का दुईओटा उपसमूहहरू \( D = \{1, 2, 3\} \) र \( E = \{3, 4, 5\} \) छन् ।
1. खप्टिएका समूहलाई परिभाषित गर्नुहोस् ।[1K]
2. D र E खप्टिएका वा अलगिएका कस्ता समूह हुन्, लेख्नुहोस् ।[1U]
3. समूह D र E बाट कुन सदस्य हटाउँदा यी समूहहरू अलगिएका समूह बन्छन् ?[1HA]
1. खप्टिएका समूहहरू (Overlapping Sets): कम्तिमा एउटा साझा सदस्य भएका समूहहरूलाई खप्टिएका समूहहरू भनिन्छ। यदि दुईवटा समूह \( A \) र \( B \) खप्टिएका छन् भने, तिनीहरूको प्रतिच्छेदन खाली हुँदैन (\( A \cap B \neq \emptyset \))।
2. समूहको प्रकार: समूह D र E खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
   कारण: तिनीहरूमा एउटा साझा सदस्य छ, जुन ३ हो (\( D \cap E = \{3\} \))।
3. अलगिएका समूह बनाउने तरिका: तिनीहरूलाई अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) बनाउनको लागि, साझा सदस्य ३ लाई समूह D वा समूह E मध्ये कुनै एउटाबाट हटाउनुपर्छ।
   यदि ३ लाई हटाइयो भने, \( D \cap E \) एउटा खाली समूह (\( \emptyset \)) बन्नेछ, जसले गर्दा तिनीहरू अलगिएका समूह हुनेछन्।

Question 60

• Study the given Venn diagram, then answer the following questions.
1. What type of sets are disjoint sets? Write.[1K]
2. Write all subsets of set R with single elements.[1U]
3. In what condition, the given sets R and S become disjoint sets?[1HA]
1. Disjoint Sets: Sets that have no common elements are called disjoint sets. For two sets \( A \) and \( B \), they are disjoint if \( A \cap B = \emptyset \). [Image of disjoint sets in a Venn diagram]
2. From the Venn diagram, set \( R = \{a, b\} \). The single-element subsets of \( R \) are:
   {a}, {b}
3. Condition: Currently, \( R \) is a subset of \( S \), so they share elements a and b. For \( R \) and \( S \) to become disjoint, they must have no elements in common. This would happen if elements a and b were removed from either set \( R \) or set \( S \). [Image of set intersection and difference in Venn diagrams]
• सँगै दिइएको भेनचित्र अध्ययन गरी तलका प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् ।
1. कस्ता समूहहरूलाई अलगिएका समूह भनिन्छ ? लेख्नुहोस् ।[1K]
2. समूह R का सबै एक सदस्यिय उपसमूहहरू लेख्नुहोस् ।[1U]
3. कुन अवस्थामा दिइएका समूहहरू R र S अलगिएका समूह बन्छन् ?[1HA]
1. अलगिएका समूहहरू (Disjoint Sets): कुनै पनि साझा सदस्य नभएका समूहहरूलाई अलगिएका समूहहरू भनिन्छ। दुईवटा समूह \( A \) र \( B \) का लागि, यदि \( A \cap B = \emptyset \) छ भने तिनीहरू अलगिएका हुन्छन्। [Image of disjoint sets in a Venn diagram]
2. भेनचित्र अनुसार, समूह \( R = \{a, b\} \) छ। \( R \) का एउटा मात्र सदस्य भएका उपसमूहहरू निम्न हुन्:
   {a}, {b}
3. अवस्था: हाल, \( R \), समूह \( S \) को उपसमूह हो, त्यसैले तिनीहरूमा सदस्यहरू a र b साझा छन्। \( R \) र \( S \) लाई अलगिएका समूह बनाउनका लागि, तिनीहरू बीच कुनै पनि साझा सदस्य हुनुहुँदैन। यदि सदस्य a र b लाई समूह \( R \) वा समूह \( S \) मध्ये कुनै एउटाबाट हटाइयो भने यस्तो अवस्था सम्भव हुन्छ। [Image of set intersection and difference in Venn diagrams]

Question 61

• \( A = \{x : x \leq 3, x \in N\} \) and \( B = \{y : y \leq 4, y \in N\} \) are subsets of the universal set \( U = \{z : z \leq 6, z \in W\} \).
1. Write the sets A, B and U in listing method.[1A]
2. Write all the common subsets of set A and B with two elements.[1U]
3. Which element of set B is to be removed so that A and B become improper subsets of each other?[1HA]
1. Listing Method:
   Natural numbers (\( N \)) start from 1, and whole numbers (\( W \)) start from 0.
   \( A = \{1, 2, 3\} \)
   \( B = \{1, 2, 3, 4\} \)
   \( U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
2. Common Subsets with Two Elements:
   First, find the common elements (intersection): \( A \cap B = \{1, 2, 3\} \).
   
   The 2-element subsets of this intersection are:
   {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}
3. Removing an Element:
   Two sets are improper subsets of each other only if they are equal sets (\( A = B \)). Currently, \( A = \{1, 2, 3\} \) and \( B = \{1, 2, 3, 4\} \).
   
   To make them identical, the element 4 must be removed from set B.
• \( A = \{x : x \leq 3, x \in N\} \) र \( B = \{y : y \leq 4, y \in N\} \) सर्वव्यापक समूह \( U = \{z : z \leq 6, z \in W\} \) का उपसमूहहरू हुन् ।
1. समूहहरू A, B र U लाई सूचीकरण विधिबाट लेख्नुहोस् ।[1A]
2. समूहहरू A र B का दुई सदस्यिय साझा उपसमूहहरू लेख्नुहोस् ।[1U]
3. समूह B को कुन सदस्य हटाउँदा A र B एकअर्काको अनुपयुक्त उपसमूह बन्छन् ?[1HA]
1. सूचीकरण विधि (Listing Method):
   प्राकृतिक सङ्ख्याहरू (\( N \)) १ बाट सुरु हुन्छन्, र पूर्ण सङ्ख्याहरू (\( W \)) ० बाट सुरु हुन्छन्।
   \( A = \{1, 2, 3\} \)
   \( B = \{1, 2, 3, 4\} \)
   \( U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
2. दुईवटा सदस्य भएका साझा उपसमूहहरू:
   सुरुमा, साझा सदस्यहरू (intersection) पत्ता लगाउनुहोस्: \( A \cap B = \{1, 2, 3\} \)।
   
   यस प्रतिच्छेदनका २-सदस्यीय उपसमूहहरू निम्न हुन्:
   {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}
3. सदस्य हटाउने प्रक्रिया:
   दुईवटा समूहहरू एक-अर्काका अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) तब मात्र हुन्छन् जब तिनीहरू बराबर समूह (equal sets) हुन्छन् (\( A = B \))। हाल, \( A = \{1, 2, 3\} \) र \( B = \{1, 2, 3, 4\} \) छन्।
   
   यिनीहरूलाई समान बनाउनको लागि, समूह B बाट सदस्य ४ लाई हटाउनु पर्छ।

Question 62

• A Venn diagram is given below.
1. What type of set is called a subset of the given set? Write it.[1K]
2. What is the relation between sets A, B and U? Write it.[1U]
3. To make sets A and B equal, which elements of set A are to be removed?[1HA]
1. Subset: A set is called a subset of a given set if every element of that set is also an element of the given set. If every element of set B is in set A, we write \( B \subseteq A \).
2. Relation: From the Venn diagram:
   \( U = \{a, b, c, d, e, f\} \)
   \( A = \{a, b, c, d\} \)
   \( B = \{a, b\} \)
   The relations are: \( B \subseteq A \), \( A \subseteq U \), and \( B \subseteq U \).
3. Making Sets Equal: Sets are equal if they have exactly the same elements. Since \( B = \{a, b\} \), to make set A equal to set B, the elements c and d must be removed from set A.
• एउटा भेनचित्र दिइएको छ ।
1. कस्तो समूहलाई दिइएको समूहको उपसमूह भनिन्छ ? लेख्नुहोस् ।[1K]
2. समूहहरू A, B र U बीच कस्तो सम्बन्ध छ ? लेख्नुहोस् ।[1U]
3. समूहहरू A र B लाई बराबर समूह बनाउन, समूह A बाट कुन कुन सदस्यहरू हटाउनुपर्छ ?[1HA]
1. Subset: A set is called a subset of a given set if every element of that set is also an element of the given set. If every element of set B is in set A, we write \( B \subseteq A \).
2. Relation: From the Venn diagram:
   \( U = \{a, b, c, d, e, f\} \)
   \( A = \{a, b, c, d\} \)
   \( B = \{a, b\} \)
   The relations are: \( B \subseteq A \), \( A \subseteq U \), and \( B \subseteq U \).
3. Making Sets Equal: Sets are equal if they have exactly the same elements. Since \( B = \{a, b\} \), to make set A equal to set B, the elements c and d must be removed from set A.

Question 63

• A Venn diagram is given below.
1. What types of sets are the sets P and Q — overlapping or disjoint sets? Write with reason.[1K]
2. Write all subsets of set P.[1U]
3. What type of subsets of set U are the sets P and Q? Write with reason.[1K]
1. From the Venn diagram, set \( P = \{x, y\} \) and set \( Q = \{w, z\} \).
   They are disjoint sets.
   Reason: There is no overlapping region and they share no common elements (\( P \cap Q = \emptyset \)).
2. Set \( P = \{x, y\} \). The subsets are:
   \( \emptyset, \{x\}, \{y\}, \{x, y\} \)
3. Sets P and Q are proper subsets of set U.
   Reason: All elements of P and Q are contained in U (\( P \subset U, Q \subset U \)), but neither set is equal to U (\( P \neq U \) and \( Q \neq U \)).
• एउटा भेनचित्र दिइएको छ ।
1. P र Q खण्डिएका वा अलगिएका कस्ता समूह हुन् ? कारणसहित लेख्नुहोस् ।[1K]
2. समूह P का सबै उपसमूहहरू लेख्नुहोस् ।[1U]
3. समूहहरू P र Q समूह U का कस्ता उपसमूहहरू हुन्, कारणसहित लेख्नुहोस् ।[1K]
1. भेनचित्रबाट, समूह \( P = \{x, y\} \) र समूह \( Q = \{w, z\} \) छन्।
   यिनीहरू अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) हुन्।
   कारण: यिनीहरू बीच कुनै खप्टिएको भाग छैन र कुनै पनि साझा सदस्यहरू छैनन् (\( P \cap Q = \emptyset \))।
2. समूह \( P = \{x, y\} \) का उपसमूहहरू निम्न हुन्:
   \( \emptyset, \{x\}, \{y\}, \{x, y\} \)
3. समूह P र Q, समूह U का उपयुक्त उपसमूहहरू (proper subsets) हुन्।
   कारण: P र Q का सबै सदस्यहरू U मा समावेश छन् (\( P \subset U, Q \subset U \)), तर कुनै पनि समूह U सँग बराबर छैनन् (\( P \neq U \) र \( Q \neq U \))।

Question 64

• Two subsets of the universal set \( U = \{\text{Natural numbers less than } 6\} \) are \( A = \{\text{Even numbers less than } 6\} \) and \( B = \{\text{Prime numbers less than } 6\} \).
1. Write the sets U, A and B in listing method.[1A]
2. Represent the above sets in a Venn diagram.[1U]
3. Write all subsets of set A.[1U]
1. Listing Method:
   \( U = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)
   \( A = \{2, 4\} \)
   \( B = \{2, 3, 5\} \)
2. Venn Diagram:
   
3. Subsets of A:
   Set \( A = \{2, 4\} \). The subsets are:
   \( \emptyset, \{2\}, \{4\}, \{2, 4\} \)
• सर्वव्यापक समूह \( U = \) {6 भन्दा साना प्राकृतिक सङ्ख्याहरू} का दुईओटा उपसमूहहरू \( A =\) {6 भन्दा साना जोर सङ्ख्याहरू} र \( B =\) {6 भन्दा साना रूढ सङ्ख्याहरू} छन् ।
1. समूहहरू U, A र B लाई सूचीकरण विधिमा लेख्नुहोस् ।[1A]
2. माथिका समूहहरूलाई भेनचित्रमा देखाउनुहोस् ।[1U]
3. समूह A का सबै उपसमूहहरू लेख्नुहोस् ।[1U]
1. सूचीकरण विधि (Listing Method):
   \( U = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)
   \( A = \{2, 4\} \)
   \( B = \{2, 3, 5\} \)
2. भेनचित्र (Venn Diagram):
   
3. समूह A का उपसमूहहरू:
   समूह \( A = \{2, 4\} \)। यसका उपसमूहहरू निम्न हुन्:
   \( \emptyset, \{2\}, \{4\}, \{2, 4\} \)

Question 65

• A Venn diagram is given below.
1. What is the relation of a set to its improper subset?[1K]
2. How many subsets of set U can be constructed?[1U]
3. Which elements of set S are to be removed to make the sets R and S disjoint sets?[1HA]
1. Relation: An improper subset of a set is the set itself. Therefore, the relation is one of equality. If \( A \) is a set, its improper subset is \( A \), meaning \( A = A \).
2. Calculation: From the Venn diagram, the universal set \( U = \{a, b, c, d, e, f, g\} \) contains 7 elements. The number of subsets is calculated using the formula \( 2^n \).
   Subsets \( = 2^7 = 128 \).
3. Logic: Disjoint sets are sets that have no common elements. From the diagram, the intersection is \( R \cap S = \{b, c\} \).
   To make them disjoint, the elements b and c must be removed from set S.
• एउटा भेनचित्र दिइएको छ ।
1. कुनै समूह र यसको अनुपयुक्त उपसमूहको सम्बन्ध कति हुन्छ ?[1K]
2. समूह U का जम्मा कति ओटा उपसमूह निर्माण गर्न सकिन्छ ?[1U]
3. समूहहरू R र S लाई अलगिएका समूह बनाउन समूह S बाट कुन कुन सदस्यहरू हटाउनुपर्छ ?[1HA]
1. सम्बन्ध: कुनै समूहको अनुपयुक्त उपसमूह (improper subset) भन्नाले सो समूह आफैँलाई बुझिन्छ। त्यसैले, यो बराबरी (equality) को सम्बन्ध हो। यदि $A$ एउटा समूह हो भने, यसको अनुपयुक्त उपसमूह $A$ नै हुन्छ, जसको अर्थ $A = A$ हो।
2. गणना: भेनचित्रबाट, सर्वव्यापक समूह $U = \{a, b, c, d, e, f, g\}$ मा ७ वटा सदस्यहरू छन्। उपसमूहहरूको सङ्ख्या सूत्र $2^n$ प्रयोग गरेर निकालिन्छ।
   उपसमूहहरू $= 2^7 = 128$।
3. तर्क: कुनै पनि साझा सदस्य नभएका समूहहरूलाई अलगिएका समूहहरू (disjoint sets) भनिन्छ। चित्र अनुसार, यिनीहरूको प्रतिच्छेदन (intersection) $R \cap S = \{b, c\}$ छ।
   यिनीहरूलाई अलगिएका समूह बनाउनका लागि, सदस्यहरू b र c लाई समूह S बाट हटाउनुपर्छ।

Question 66

• Two subsets of the universal set \( U = \{\text{whole numbers less than } 7\} \) are \( A = \{x : x \text{ is an odd number}\} \) and \( B = \{y : y \text{ is a prime number}\} \).
1. Define subset.[1K]
2. Show the above sets in a Venn diagram.[1U]
3. What type of sets are A and B — disjoint or overlapping? Write with reason.[1HA]
1. Definition: A set \( X \) is called a subset of another set \( Y \) if every element of \( X \) is also an element of \( Y \).
   It is denoted by \( X \subseteq Y \).
2. Listing Elements:
   \( U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
   \( A = \{1, 3, 5\} \)
   \( B = \{2, 3, 5\} \)
   Venn Diagram:
3. Reasoning: Sets A and B are overlapping sets.
   Reason: They have common elements \( \{3, 5\} \). Since their intersection is not empty (\( A \cap B \neq \emptyset \)), they are overlapping.
• सर्वव्यापक समूह \( U = \) {7 भन्दा साना पूर्ण सङ्ख्याहरू} का दुईओटा उपसमूहहरू \( A = \{x : x \text{ एउटा विषम सङ्ख्या हो}\} \) र \( B = \{y : y \text{ एउटा रूढ सङ्ख्या हो}\} \) छन् ।
1. उपसमूहलाई परिभाषित गर्नुहोस् ।[1K]
2. माथि दिइएका समूहहरूलाई भेनचित्रमा देखाउनुहोस् ।[1U]
3. समूहहरू A र B खण्डिएका वा अलगिएका कस्ता समूह हुन् ? कारणसहित लेख्नुहोस् ।[1HA]
1. परिभाषा: यदि समूह \( X \) का प्रत्येक सदस्यहरू अर्को समूह \( Y \) का पनि सदस्य हुन् भने, समूह \( X \) लाई समूह \( Y \) को उपसमूह भनिन्छ।
   यसलाई \( X \subseteq Y \) ले जनाइन्छ।
2. सदस्यहरूको सूचीकरण:
   \( U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
   \( A = \{1, 3, 5\} \)
   \( B = \{2, 3, 5\} \)
   भेनचित्र:
3. तर्क: समूह A र B खप्टिएका समूहहरू (overlapping sets) हुन्।
   कारण: यिनीहरूमा साझा सदस्यहरू \( \{3, 5\} \) छन्। किनभने यिनीहरूको प्रतिच्छेदन खाली छैन (\( A \cap B \neq \emptyset \)), त्यसैले यी खप्टिएका समूह हुन्।